Dubbio su approccio studio di funzione

[Satiro]

Ciao a tutti, non sono sicuro di come procedere col seguente studio di funzione perché ci sono un po' di elementi di cui tener conto e probabilmente sbaglio qualcosa sin da subito perché vanno in contrasto

Io ho la seguente situazione

$ f(x)={ (x*sqrt(|1+3/x|)+1),( 1 ):} $

Il primo se $x!=0$ il secondo se $x=0$

Ora la prima richiesta è di verificarne la continuità su R per fare ciò è necessario ,per come la vedo io, scomporre il valore assoluto in modo da ottenere due funzioni , di cui una la otteniamo per $ 1+3/x > 0 $ e l'altra per $1+3/x<0$ quindi, rispettivamente $x>=-3$ E $x<-3$

Il problema viene ora perché abbiamo una radice e quindi devo farne le condizioni di esistenza, se reinserisco la x sotto la radice dovrei avere $ x^2+3x > 0 rArr x<-3 vv x>0 $ e $-x^2-3x>0 rArr -3
Però come faccio a questo punto? Ho delle informazioni contrastanti, non so cosa prendere quando voglio valutare cosa succede nell'intorno di zero o andando a infinito.

Grazie mille

[kobeilprofeta]

Perchè portare la $x$ sotto la radice? Le condizioni di esistenza di $sqrt(g(x))$ sono per $g(x)>=0$ ma in questo caso $g(x)$ è un valore assoluto e per definizione non assume valori negativi.

[Satiro]

Grazie!