Dubbio su applicazione teorema di Dini
Salve ho un esercizio di esame che dice questo:
Data $f(x,y)=y^7+x^2y+x^6$ dimostrare che esiste un unica $y(x)$ tale che $f(x,y(x))=0$ per ogni $x$.
Ho mostrato che in ogni punto diverso da $(0,0)$ la mia funzione ha gradiente non nullo e quindi in quei punti è applicabile il teorema di Dini. Il mio dubbio sta nel fatto che il teorema di Dini mi garantisce che per ognuno di quei punti esiste un intorno in cui esiste un unica $y(x)$ (unica nell’intorno!!!), ma cosa mi garantisce che per punti diversi, quindi intorni diversi le varie $y(x)$ siano la stessa funzione??
ora intuitivamente ho capito che essendo $f$ continua e avendo gradiente non nullo al di fuori di $(0,0)$ il luogo degli zeri deve essere una curva o qualcosa del genere e quindi i vari intorni sono tutti sovrapposti e quindi ho l’unicità. Ma come si mostrerebbe rigorosamente che appunto non ci può essere uno zero isolato dagli altri (come punto nel dominio intendo) ma sono tutti vicini?
Data $f(x,y)=y^7+x^2y+x^6$ dimostrare che esiste un unica $y(x)$ tale che $f(x,y(x))=0$ per ogni $x$.
Ho mostrato che in ogni punto diverso da $(0,0)$ la mia funzione ha gradiente non nullo e quindi in quei punti è applicabile il teorema di Dini. Il mio dubbio sta nel fatto che il teorema di Dini mi garantisce che per ognuno di quei punti esiste un intorno in cui esiste un unica $y(x)$ (unica nell’intorno!!!), ma cosa mi garantisce che per punti diversi, quindi intorni diversi le varie $y(x)$ siano la stessa funzione??
ora intuitivamente ho capito che essendo $f$ continua e avendo gradiente non nullo al di fuori di $(0,0)$ il luogo degli zeri deve essere una curva o qualcosa del genere e quindi i vari intorni sono tutti sovrapposti e quindi ho l’unicità. Ma come si mostrerebbe rigorosamente che appunto non ci può essere uno zero isolato dagli altri (come punto nel dominio intendo) ma sono tutti vicini?
Risposte
Si può dimostrare che valgono i seguenti fatti generali:
data una equazione $f(x,y) = 0$, si ha che
1) Se $\mbox{liminf}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) > 0$ oppure $\mbox{limsup}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) < 0$, allora il luogo di zeri della funzione $f$ è limitato.
Se inoltre $f$ è continua, allora è anche compatto.
2) Se $\mbox{liminf}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) < 0$ ed inoltre $\mbox{limsup}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) > 0$, allora il luogo di zeri della funzione $f$ è illimitato.
Nel tuo caso, si vede facilmente prendendo $f(0,y)$ e poi mandando $y$ a $\pm \infty$ che il limsup è $+\infty$ e il liminf è $-\infty$, dunque il luogo di zeri è illimitato.
Inoltre, fissato $x$, si ha che la funzione $y \mapsto f(y,x)$ è monotòna, in quanto $f_y = 7y^6 + x^2 \ge 0$ per ogni $(x,y)$, dunque iniettiva, ed anche suriettiva poiché passa da $-\infty$ a $+\infty$, dunque il luogo di zeri di $f$ è un grafico globale di funzione
data una equazione $f(x,y) = 0$, si ha che
1) Se $\mbox{liminf}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) > 0$ oppure $\mbox{limsup}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) < 0$, allora il luogo di zeri della funzione $f$ è limitato.
Se inoltre $f$ è continua, allora è anche compatto.
2) Se $\mbox{liminf}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) < 0$ ed inoltre $\mbox{limsup}_(x^2 + y^2 \to +\infty) f(x,y) > 0$, allora il luogo di zeri della funzione $f$ è illimitato.
Nel tuo caso, si vede facilmente prendendo $f(0,y)$ e poi mandando $y$ a $\pm \infty$ che il limsup è $+\infty$ e il liminf è $-\infty$, dunque il luogo di zeri è illimitato.
Inoltre, fissato $x$, si ha che la funzione $y \mapsto f(y,x)$ è monotòna, in quanto $f_y = 7y^6 + x^2 \ge 0$ per ogni $(x,y)$, dunque iniettiva, ed anche suriettiva poiché passa da $-\infty$ a $+\infty$, dunque il luogo di zeri di $f$ è un grafico globale di funzione
1. nel limite scrivi $x^2+y^2\to\infty$: intendi \(|| (x,y) ||\to\infty\)?
2. Per l’iniettivitá serve la monotonia stretta e non la hai ovunque (in $(0,0) $ non c’è) però a quello si dovrebbe poter rimediare facilmente
3. non ho capito come concludi che il luogo degli zeri è un grafico globale di funzione (grafico globale di funzione per te significa che esiste una funzione da $\RR$ in $\RR$ che ha come immagine il luogo degli zeri?)
2. Per l’iniettivitá serve la monotonia stretta e non la hai ovunque (in $(0,0) $ non c’è) però a quello si dovrebbe poter rimediare facilmente
3. non ho capito come concludi che il luogo degli zeri è un grafico globale di funzione (grafico globale di funzione per te significa che esiste una funzione da $\RR$ in $\RR$ che ha come immagine il luogo degli zeri?)
"SwitchArio":
1. nel limite scrivi $x^2+y^2\to\infty$: intendi \(|| (x,y) ||\to\infty\)?
Sì esattamente (prendere la norma o la norma al quadrato non cambia)
2. Per l’iniettivitá serve la monotonia stretta e non la hai ovunque (in $(0,0) $ non c’è) però a quello si dovrebbe poter rimediare facilmente
Esatto. Come, ad esempio?
3. non ho capito come concludi che il luogo degli zeri è un grafico globale di funzione (grafico globale di funzione per te significa che esiste una funzione da $\RR$ in $\RR$ che ha come immagine il luogo degli zeri?)
Definisco la funzione $y(x)$ come quell'unica funzione (che è iniettiva e suriettiva) tale che, preso $x \in \RR$, mi dà $y(x)$ unico (per iniettività) tale che $f(x,y(x))=0$. Definisco cioè $y(x)$ in maniera implicita, d'altronde sto usando il teorema delle funzioni implicite
Dato che l'applicazione $y \mapsto f(x,y)$ è anche suriettiva, qualsiasi $x$ prendo, riesco a trovare $y(x)$ definito come sopra.
Il luogo di zeri di $f$ è allora $V= {(x,y(x)) | x \in \RR, f(x,y(x)) = 0}$, ovvero è un grafico globale di funzione
Grazie per il chiarimento. Ho ulteriori domande
1. Ma così hai mostrato che esiste una (unica?) $y(x)$ che descrive il luogo degli zeri, ma se la metti così non gode di nessuna delle proprietà che garantisce Dini, non si sa nemmeno se $y(x)$ è continua.
Oppure questa devo pensarla come complemento al risultato del teorema di Dini, e quindi mi garantisce che nei vari intorni sto trattando sempre la stessa funzione $y(x)$??
2. Ma nel tuo ragionamento cosa mi garantisce che $y(x)$ è unica e non ci siano altre funzioni che descrivono il luogo degli zeri
Non so se le domande possano sembrare banali ma ho bisogno di capire bene
1. Ma così hai mostrato che esiste una (unica?) $y(x)$ che descrive il luogo degli zeri, ma se la metti così non gode di nessuna delle proprietà che garantisce Dini, non si sa nemmeno se $y(x)$ è continua.
Oppure questa devo pensarla come complemento al risultato del teorema di Dini, e quindi mi garantisce che nei vari intorni sto trattando sempre la stessa funzione $y(x)$??
2. Ma nel tuo ragionamento cosa mi garantisce che $y(x)$ è unica e non ci siano altre funzioni che descrivono il luogo degli zeri
Non so se le domande possano sembrare banali ma ho bisogno di capire bene
Ciao Noodles, la tua soluzione è interessante, però così hai mostrato che se esistono due funzioni $y_1(x),y_2(x)$ allora queste coincidono in ogni punto, quindi sono uguali, tuttavia come mostri che effettivamente queste funzioni esistono e che siano almeno derivabili (o ancora meglio di classe $C^1$)?
Inoltre nell’esame altri punti dell’esercizio facevano riferimento al teorema Dini e alla derivata prima di $y$, quindi prima bisognava ricorrervi.
Inoltre nell’esame altri punti dell’esercizio facevano riferimento al teorema Dini e alla derivata prima di $y$, quindi prima bisognava ricorrervi.
Il fatto che la funzione definita in modo implicito sia di classe $C^1$ ti è garantito proprio dal teorema delle funzioni implicite... è una delle tesi...
In particolare la funzione implicita ha sempre la stessa regolarità della funzione che ti definisce il luogo di zeri.
L'unicità di $y(x)$ è garantita dalla solita combo iniettiva + suriettiva.
Se esistesse una seconda funzione $z(x)$ che facesse la stessa cosa, allora puoi dimostrare che $z(x) = y(x)$ ovunque, sfruttando come sono definite
In particolare la funzione implicita ha sempre la stessa regolarità della funzione che ti definisce il luogo di zeri.
L'unicità di $y(x)$ è garantita dalla solita combo iniettiva + suriettiva.
Se esistesse una seconda funzione $z(x)$ che facesse la stessa cosa, allora puoi dimostrare che $z(x) = y(x)$ ovunque, sfruttando come sono definite
@ SwitchArio
Non capivo perchè dovessi applicare il teorema di Dini. Infatti, dopo aver dimostrato l'esistenza applicando il teorema degli zeri parametricamente rispetto a x, per quanto riguarda l'unicità (i contenuti del messaggio che ho cancellato):
Questo non potevo saperlo.
P.S.
Vero è che, dopo aver dimostrato esistenza ed unicità, la validità del teorema di Dini può essere estesa a livello globale.
Non capivo perchè dovessi applicare il teorema di Dini. Infatti, dopo aver dimostrato l'esistenza applicando il teorema degli zeri parametricamente rispetto a x, per quanto riguarda l'unicità (i contenuti del messaggio che ho cancellato):
$\{(y_1^7+x^2y_1+x^6=0),(y_2^7+x^2y_2+x^6=0):} rarr$
$rarr \{(y_1^7+x^2y_1+x^6=0),(y_2^7+x^2y_2+x^6=0),(y_1 lt= 0),(y_2 lt= 0):} rarr$
$rarr y_1^7-y_2^7+x^2y_1-x^2y_2=0 rarr$
$rarr (y_1-y_2)(y_1^6+y_1^5y_2+y_1^4y_2^2+y_1^3y_2^3+y_1^2y_2^4+y_1y_2^5+y_2^6)+x^2(y_1-y_2)=0 rarr$
$rarr (y_1-y_2)(y_1^6+y_1^5y_2+y_1^4y_2^2+y_1^3y_2^3+y_1^2y_2^4+y_1y_2^5+y_2^6+x^2)=0 rarr$
$rarr y_1=y_2$
"SwitchArio":
... altri punti dell’esercizio facevano riferimento al teorema di Dini ...
Questo non potevo saperlo.
P.S.
Vero è che, dopo aver dimostrato esistenza ed unicità, la validità del teorema di Dini può essere estesa a livello globale.
Spulciando su Internet ho letto l’esempio 2.1.3 di questo pdf e, non so perché, magicamente ho capito e ora rileggendola mi è chiara anche la precedente risposta di Lebesgue.
In sostanza come dice Lebesgue la combo iniettività (data da $f_y>0$) + suriettività mi garantisce che ci sia un unica funzione. Grazie mille a entrambi
In sostanza come dice Lebesgue la combo iniettività (data da $f_y>0$) + suriettività mi garantisce che ci sia un unica funzione. Grazie mille a entrambi
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