Dubbio su algebra delle derivate

[tetravalenza]

Ciao, l'autore S. Lancelotti, nel suo libro "Lezioni di Analisi Matematica I", per dimostrare la derivabilità della funzione $f\cdot g$ prodotto di funzioni derivabili in un punto $x_0$ esegue, dopo aver applicato la definizione di derivata in $x_0$ e aggiunto e tolto opportunamente il termine $f(x_0)g(x)$ a numeratore, i seguenti ultimi passaggi
\[
=\lim_{x\rightarrow x_0}\Big[{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)}+f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\Big] =\\
\text{essendo g derivabile in}\hspace{0.2cm}x_0\hspace{0.2cm}\text{è anche continua in}\hspace{0.2cm}x_0\hspace{0.2cm}\text{e si ottiene} \\
=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)
\]
perché ha specificato solo la continuità di $g$ in $x_0$? Le ipotesi del teorema sono

[*:3d5e337s] $x_0$ punto interno a $dom(f)\cap dom(g)$[/*:m:3d5e337s]
[*:3d5e337s] $f$, $g$ funzioni derivabili in $x_0$[/*:m:3d5e337s][/list:u:3d5e337s]

Allego la scansione della parte di testo originale.

[l'abatefarina]

ovviamente anche $f(x)$ è continua in $x_0$, ma nella dimostrazione già compare $f(x_0)$
specificando la continuità di $g$ in $x_0$ puo dire che $ lim_(x -> x_0) g(x)=g(x_0) $

[tetravalenza]

Ah! OK grazie

[Bokonon]

"tetravalenza":

[*:dv3y0gn5] $x_0$ punto interno a $dom(f)\cap dom(g)$[/*:m:dv3y0gn5]
[*:dv3y0gn5] $f$, $g$ funzioni derivabili in $x_0$[/*:m:dv3y0gn5][/list:u:dv3y0gn5]

Per le funzioni con una sola variabile la continuità in un punto del dominio non implica che sia derivabile in quel punto: la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente. Quindi se la funzione è derivabile in un punto del dominio allora è continua in quel punto.

Le funzioni a una sola variabile sono un caso "speciale" del concetto più ampio di differenziabilità, quindi non estendere meccanicamente questo risultato.