Dubbio su alcuni grafici
Buongiorno. Ho un dubbio veramente atroce che mi assale. Allora stavo studiando le funzioni continue quando mi abbatto nel grafico della funzione $f(x)= sin(1/x)$. Allora facendo il grafico e cercando i limiti: lim di x che tende a 0 di $sin(1/x)$ mi esce sin di infinito. Questa cosa ha senso? Cioè tende a infinito? Inoltre sempre il limite che tende a 0 posso moltiplicare e dividere $sin(1/x)$ per $(1/x)$ e quindi avrei un limite notevole che tende a 1 moltiplicato per $(1/x)$ che dovrebbe rendere a più infinito. Ma guardando il grafico già fatto vedo a 0 si avvicina a 0. Cosa sto sbagliando?
Risposte
Mi sembra di capire che, secondo te:
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} = 1 \qquad [\text{falso}] \]
Probabilmente ti stai confondendo con:
\[ \lim_{x \to +\infty} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} = 1 \]
Oppure con:
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left ({x} \right)}{{x}}} = 1 \]
Di fatto, il primo limite non fa \(1\), ma \(0\). Vedi messaggi successivi.
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} = 1 \qquad [\text{falso}] \]
Probabilmente ti stai confondendo con:
\[ \lim_{x \to +\infty} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} = 1 \]
Oppure con:
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left ({x} \right)}{{x}}} = 1 \]
Di fatto, il primo limite non fa \(1\), ma \(0\). Vedi messaggi successivi.
Il limite di $sinx/x$ fa 1 solo ed esclusivamente quando $x->0$, ovviamente vale anche $lim_(f(x)->0) (sin f(x))/(f(x))=1$.
Tuttavia per $x-> oo$ il $sinx$ non esiste, quindi $lim_(x->oo) sin (1/x)$ NON esiste. Detto tra noi è proprio il classico esempio che si fa per indicare un limite che non esiste.
Sono arrivata seconda, ma ... repetita iuvant.
Tuttavia per $x-> oo$ il $sinx$ non esiste, quindi $lim_(x->oo) sin (1/x)$ NON esiste. Detto tra noi è proprio il classico esempio che si fa per indicare un limite che non esiste.
Sono arrivata seconda, ma ... repetita iuvant.
Grazie ora ho capito
"Berationalgetreal":
Di fatto, il primo limite non fa \(1\); non esiste neanche.
Su questo non sono d'accordo. Il limite
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} \]
esiste ed il suo valore è \(0\).
"Raptorista":
[quote="Berationalgetreal"]
Di fatto, il primo limite non fa \(1\); non esiste neanche.
Su questo non sono d'accordo. Il limite
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\sin \left (\dfrac{1}{x} \right)}{\dfrac{1}{x}}} \]
esiste ed il suo valore è \(0\).[/quote]
Giustissimo. Sono stato impreciso. Quel limite è \(0\). Basta usare il teorema di carabinieri per dimostrarlo (il seno è compreso tra \(-1\) ed \(1\) qualunque sia il suo argomento; quindi quel limite sta tra \( \lim_{x \to 0} { \pm x} \)). Grazie per la precisazione, adesso correggo
"handuup":
... mi *abbatto* nel grafico della...
Volevi dire "mi *imbatto*"?
http://www.treccani.it/vocabolario/imbattersi/
si è mi imbatto ma è il correttore automatico del telefono che fa brutti scherzi
Scusate ma pensavo di aver capito ma ho ancora dubbi. In pratica quando è che posso usare il limite notevole del seno? Per esempio se ho lim che tende a zero di sin(1/x) come faccio a risolverlo? E come posso calcolare linite che tende a 0 di arctan(1/x). Io praticamente ho sostituito 0- e 0+ nella funzione e mi ritrovo arctan(infinito). QUesto tende a 0 invece di pigreco mezzi. PErchè???
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