Dubbio stupido sulla convergenza di un integrale ad infinito
Salve ragazzi, ho un dubbio !
$ int_(1)^( +oo ) 1/x $ diverge, ma quindi anche $ int_(1)^( +oo ) (1+n)/x $ e $ int_(1)^( +oo ) (1)/(x + n) $ divergono per x che tende a infinito ?!
$ int_(1)^( +oo ) 1/x $ diverge, ma quindi anche $ int_(1)^( +oo ) (1+n)/x $ e $ int_(1)^( +oo ) (1)/(x + n) $ divergono per x che tende a infinito ?!
Risposte
Certo divergono, quello che conto è il grado del denominatore : se è $> 1 $ allora quegli integrali convergono, altrimenti divergono.
$int_1^(+oo) dx/x^alpha $ converge se $alpha > 1 $ diverge se $alpha <=1 $.
Basta calcolare una primitiva e fare i conti : ad esempio se $alpha=1 ; int dx/x =ln x $ e quindi $[lnx ]_1^oo = +oo$
se $alpha > 1 ;int dx/x^alpha = x^(1-alpha)/(1-alpha )$ che valutato tra $ 1 $e $ +oo$ dà $1/(alpha-1)$.
$int_1^(+oo) dx/x^alpha $ converge se $alpha > 1 $ diverge se $alpha <=1 $.
Basta calcolare una primitiva e fare i conti : ad esempio se $alpha=1 ; int dx/x =ln x $ e quindi $[lnx ]_1^oo = +oo$
se $alpha > 1 ;int dx/x^alpha = x^(1-alpha)/(1-alpha )$ che valutato tra $ 1 $e $ +oo$ dà $1/(alpha-1)$.
(Nel frattempo vedo che ti ha risposto Camillo, comunque un paio di osservazioni).
Anzitutto hai scordato i [tex]$dx$[/tex]
Molto più importante è invece commentare quando dici:
[tex]$x$[/tex] è la variabile della funzione integranda, che qualche volta avrai sentito dire "è muta" o cose simili.
Come sarebbe a dire che tende a infinito?
Anzitutto hai scordato i [tex]$dx$[/tex]
Molto più importante è invece commentare quando dici:
"fedeth":
$ int_(1)^( +oo ) (1+n)/x $ e $ int_(1)^( +oo ) (1)/(x + n) $ divergono per x che tende a infinito ?!
[tex]$x$[/tex] è la variabile della funzione integranda, che qualche volta avrai sentito dire "è muta" o cose simili.
Come sarebbe a dire che tende a infinito?
"Steven":
(Nel frattempo vedo che ti ha risposto Camillo, comunque un paio di osservazioni).
Anzitutto hai scordato i [tex]$dx$[/tex]
Molto più importante è invece commentare quando dici:
[quote="fedeth"]$ int_(1)^( +oo ) (1+n)/x $ e $ int_(1)^( +oo ) (1)/(x + n) $ divergono per x che tende a infinito ?!
[tex]$x$[/tex] è la variabile della funzione integranda, che qualche volta avrai sentito dire "è muta" o cose simili.
Come sarebbe a dire che tende a infinito?[/quote]
Forse mi sono espresso male in effetti, e mi sono scordato il dx !
$ lim_(t -> oo) int_(1)^(t) 1/x dx $ forse così sarebbe stato più corretto ?
"Camillo":
Certo divergono, quello che conto è il grado del denominatore : se è $> 1 $ allora quegli integrali convergono, altrimenti divergono.
$int_1^(+oo) dx/x^alpha $ converge se $alpha > 1 $ diverge se $alpha <=1 $.
Basta calcolare una primitiva e fare i conti : ad esempio se $alpha=1 ; int dx/x =ln x $ e quindi $[lnx ]_1^oo = +oo$
se $alpha > 1 ;int dx/x^alpha = x^(1-alpha)/(1-alpha )$ che valutato tra $ 1 $e $ +oo$ dà $1/(alpha-1)$.
Quindi le costanti numeriche sia al numeratore che al denominatore non influenzano la divergenza o la convergenza in nessun caso !?!
Se ho capito bene allora anche una cosa tipo
$ lim_(t -> oo) int_(1)^(t) 0.1 / (100 x) dx $
divergerebbe giusto ?
Eh si. Tutta questione di linearità dell'integrale: puoi "portare le costanti dentro e fuori" come ti pare. Più concretamente, $int_0^infty ("un milionesimo")*1/x"d"x=("un milionesimo")*int_0^infty1/x"d"x$; ma un milionesimo di infinito è sempre infinito...
Scusate l'intromissiono 'off-topic', ma tutto questo topic riguarda anche 'il criterio degli integrali'?
Perchè, proprio sulla convergenza e divergenza, nel capito delle serie, c'è anche quella del criterio degli integrali, o sono io che sto facendo confusione?
Grazie.
Perchè, proprio sulla convergenza e divergenza, nel capito delle serie, c'è anche quella del criterio degli integrali, o sono io che sto facendo confusione?
Grazie.
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