Dubbio stupido
Probabilmente ora devo essere completamente fumato, ma c'è qualcosa che mi sfugge..
sia $f(x) = e^x + (2-e)x \ \ (x \ge 1)$, mentre $x^2 + \beta \ \ (x < 1)$
si vede che in 1 la funzione è derivabile a prescindere dal valore di $\beta$ (lo si vede sia dal limite del rapporto incrementale sia dalla continuità in 1 della funzione derivata). inoltre è $f \ ' (1) = 2$.
Inoltre derivabilità => continuità; quindi f(x) è continua in 1 per ogni valore di $\beta$; ma questo è falso
dov'è la cavolata?
sia $f(x) = e^x + (2-e)x \ \ (x \ge 1)$, mentre $x^2 + \beta \ \ (x < 1)$
si vede che in 1 la funzione è derivabile a prescindere dal valore di $\beta$ (lo si vede sia dal limite del rapporto incrementale sia dalla continuità in 1 della funzione derivata). inoltre è $f \ ' (1) = 2$.
Inoltre derivabilità => continuità; quindi f(x) è continua in 1 per ogni valore di $\beta$; ma questo è falso
dov'è la cavolata?
Risposte
Come si controlla la continuità di una funzione in un punto? 
"Brancaleone":
Come si controlla la continuità di una funzione in un punto?
no va beh lo so che devo fare il limite destro e sinistro e verificare siano uguali, ma quello che mi chiedevo è dove ho sbagliato ad applicare i teoremi dal momento che derivabilità => continuità (o sbaglio? )
Hai sbagliato all'inizio: come fai ad affermare che la funzione in $x_0=1$ è derivabile per qualunque $beta$?
Puoi riportare qui i passaggi che hai fatto?
Puoi riportare qui i passaggi che hai fatto?
se calcoliamo la funzione derivata otteniamo
$f \ ' (x) = e^x + 2 - e \ (x > 1)$ , $2x (x < 1)$
il limite per x -> 1 della funzione derivata è uguale a 2 e questo basta ad affermare (o sbaglio? non è noto come teorema del tappabuchi? ) che $f \ ' (1) = 2$
$f \ ' (x) = e^x + 2 - e \ (x > 1)$ , $2x (x < 1)$
il limite per x -> 1 della funzione derivata è uguale a 2 e questo basta ad affermare (o sbaglio? non è noto come teorema del tappabuchi? ) che $f \ ' (1) = 2$
Allora:
Una funzione (a una variabile, perché per funzioni a due o più variabili non è vero) derivabile in un punto $x_0$ implica che in tale punto la funzione sia anche continua.
Invece, una funzione continua in $x_0$ non è detto che sia derivabile nello stesso punto.
Una cosa è certa: se f non è continua in $x_0$, allora non può nemmeno essere derivabile in $x_0$, perché se lo fosse dovrebbe anche essere continua!
Riprendendo il problema: per quali $beta$ la funzione è continua? Solo tra quei $beta$ per i quali la funzione è continua ce ne potrebbe essere (almeno) uno per il quale la funzione è anche derivabile.
Una funzione (a una variabile, perché per funzioni a due o più variabili non è vero) derivabile in un punto $x_0$ implica che in tale punto la funzione sia anche continua.
Invece, una funzione continua in $x_0$ non è detto che sia derivabile nello stesso punto.
Una cosa è certa: se f non è continua in $x_0$, allora non può nemmeno essere derivabile in $x_0$, perché se lo fosse dovrebbe anche essere continua!
Riprendendo il problema: per quali $beta$ la funzione è continua? Solo tra quei $beta$ per i quali la funzione è continua ce ne potrebbe essere (almeno) uno per il quale la funzione è anche derivabile.
sono d'accordo, e infatti io è dalla derivatibilità di f in 1 che ho dedotto la sua continuità in 1, non il contrario;
e la derivabilità di f in 1 l'ho dedotta dalla continuità della funzione derivata f', sfruttando il teorema del tappabuchi, che dice che se f è derivabile in (a, b) escluso al più un punto x0, e la sua funzione derivata è continua in x0, allora la derivata in quel punto esiste ed è uguale al limite della funzione derivata, in questo caso 2
imponendo la continuità so risolvere il problema tranquillamente ($\beta = 1$) ma non è questo il punto
è come se fosse: so che la funzione f è derivabile in 1, è anche continua in 1? si, lo è, ovviamente
quella f che ho scritto con $\beta$ generico appare essere derivabile in 1 per ogni $\beta$ ma ovviamente non è continua per ogni $\beta$, da qui la domanda
e la derivabilità di f in 1 l'ho dedotta dalla continuità della funzione derivata f', sfruttando il teorema del tappabuchi, che dice che se f è derivabile in (a, b) escluso al più un punto x0, e la sua funzione derivata è continua in x0, allora la derivata in quel punto esiste ed è uguale al limite della funzione derivata, in questo caso 2
imponendo la continuità so risolvere il problema tranquillamente ($\beta = 1$) ma non è questo il punto
è come se fosse: so che la funzione f è derivabile in 1, è anche continua in 1? si, lo è, ovviamente
quella f che ho scritto con $\beta$ generico appare essere derivabile in 1 per ogni $\beta$ ma ovviamente non è continua per ogni $\beta$, da qui la domanda
"ant.py":
se calcoliamo la funzione derivata otteniamo
$f \ ' (x) = e^x + 2 - e \ (x > 1)$ , $2x (x < 1)$
il limite per x -> 1 della funzione derivata è uguale a 2 e questo basta ad affermare (o sbaglio? non è noto come teorema del tappabuchi? ) che $f \ ' (1) = 2$
L'idea è buona... Peccato che ti ricordi di verificare solo metà delle ipotesi del teorema.
Infatti, il teorema che citi funziona solo se la funzione è continua nel punto \(1\), il che nel caso in esame dipende pesantemente dalla scelta di \(\beta\).
ah, ecco, così ha senso.. però mi è stato enunciato in quella maniera, si sono evidentemente dimenticati di aggiungere che f può non essere derivabile in x0 ma deve essere perlomeno continua
ok; ora però se calcolo la derivata destra con la definizione ottengo 2
infatti
\(\displaystyle \lim_{h -> 0+} \frac{e^{1+h} + (2-e)(1+h) - e - 2 + e}{h} = \frac{e(e^h-1)}{h} + 2 - e = 2 \)
quello sinistro:
\(\displaystyle \lim_{x->1-} \frac{x^2 - 1}{x-1} = x + 1 = 2 \)
quindi la funzione è derivabile in 2
A questo punto immagino di aver sbagliato a calcolare i limiti dei rapporti incrementali..
ok; ora però se calcolo la derivata destra con la definizione ottengo 2
infatti
\(\displaystyle \lim_{h -> 0+} \frac{e^{1+h} + (2-e)(1+h) - e - 2 + e}{h} = \frac{e(e^h-1)}{h} + 2 - e = 2 \)
quello sinistro:
\(\displaystyle \lim_{x->1-} \frac{x^2 - 1}{x-1} = x + 1 = 2 \)
quindi la funzione è derivabile in 2
A questo punto immagino di aver sbagliato a calcolare i limiti dei rapporti incrementali..
Non è che hai sbagliato a calcolare i limiti dei rapporti incrementali (che sì fanno entrambi $2$ in $x_0=1$, e tale valore è accettabile solo per $beta=1$), ma hai sbagliato nel calcolarli senza prima appurare che la funzione sia continua nel punto.
Esempio banale:
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<1) \\ x+2 & (x \ge 1) \end{cases} \)
Si vede subito che la funzione non è continua in $x_0=1$.
Se però non te ne accorgi e/o "parti in quarta" e controlli se esiste la derivata in $x_0$, arrivi all'errore fatale:
\(\displaystyle \color{red}{\lim_{h->0} \frac{((h+1)+1)-2}{h}=1} \)
\(\displaystyle \color{red}{\lim_{h->0} \frac{((h+1)+2)-3}{h}=1} \)
\(\displaystyle \color{red}{\Rightarrow}\) poiché le derivate "esistono" finite e sono uguali, allora è continua... ma non è vero!
Esempio banale:
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<1) \\ x+2 & (x \ge 1) \end{cases} \)
Si vede subito che la funzione non è continua in $x_0=1$.
Se però non te ne accorgi e/o "parti in quarta" e controlli se esiste la derivata in $x_0$, arrivi all'errore fatale:
\(\displaystyle \color{red}{\lim_{h->0} \frac{((h+1)+1)-2}{h}=1} \)
\(\displaystyle \color{red}{\lim_{h->0} \frac{((h+1)+2)-3}{h}=1} \)
\(\displaystyle \color{red}{\Rightarrow}\) poiché le derivate "esistono" finite e sono uguali, allora è continua... ma non è vero!
ah ecco cosa mancava!
scusami e allora in che senso si dice che la derivabilità => continuità? tanto affinchè abbia senso parlare di derivate bisogna prima appurare che sia continua!
cioè, se io so che $f \ ' (1)$ esiste finita, una generica f, non posso dire che f in 1 è continua! lo posso dire dopo che so che è continua, ma non è che abbia tanto senso
scusami e allora in che senso si dice che la derivabilità => continuità? tanto affinchè abbia senso parlare di derivate bisogna prima appurare che sia continua!
cioè, se io so che $f \ ' (1)$ esiste finita, una generica f, non posso dire che f in 1 è continua! lo posso dire dopo che so che è continua, ma non è che abbia tanto senso
Quel teorema ti dice che la continuità è una condizione necessaria alla derivabilità.
Quindi, se una funzione non è continua in un punto, certamente non può essere derivabile; e, viceversa, se una funzione è continua, essa potrebbe essere derivabile... Ma non è detto che effettivamente lo sia.
Quindi, se una funzione non è continua in un punto, certamente non può essere derivabile; e, viceversa, se una funzione è continua, essa potrebbe essere derivabile... Ma non è detto che effettivamente lo sia.
ok ma il teorema mi è stato enunciato così
"Se eiste $f \ '(x_0) => f$ è continua in $ x_0$ "
quindi dato che esiste $f \ ' (1)$, dico che è continua in 1.
Ho capito che una funzione continua può non essere derivabile, ma qui ho una funzione che so essere derivabile e quindi mi aspetto essere continua
"Se eiste $f \ '(x_0) => f$ è continua in $ x_0$ "
quindi dato che esiste $f \ ' (1)$, dico che è continua in 1.
Ho capito che una funzione continua può non essere derivabile, ma qui ho una funzione che so essere derivabile e quindi mi aspetto essere continua
"ant.py":
ok ma il teorema mi è stato enunciato così
"Se eiste $f \ '(x_0) => f$ è continua in $ x_0$ "
quindi dato che esiste $f \ ' (1)$, dico che è continua in 1.
Ho capito che una funzione continua può non essere derivabile, ma qui ho una funzione che so essere derivabile e quindi mi aspetto essere continua
Ma tu non sai che lì è derivabile, tu pensi (erroneamente) che lo sia!
Difatti, come hai scritto tu, il teorema afferma che se esiste $f'(x_0)$ allora è ivi continua..
Abbiamo appurato che non esiste per $beta ne 1$, quindi...
EDIT: correggo imprecisazione
ah ecco..
quindi il problema è che anche se i rapporti incrementali destro e sinistro coincidono*, non si può dire che la derivata in quel punto esiste se prima non so che è continua in quel punto?
però nella definizione di derivata non entra il concetto di continuità, se non sbaglio
* cioè, se in generale esiste il limite da destra e da sinistra e i due limiti conincidono, allora il limite esiste. Essendo derivata destra, sinistra due limiti, che coincidono, della stessa espressione (il rapporto incrementale di f), allora la derivata esiste. O il fatto che la funzione sia definita per tratti (e quindi non continua in quel punto) cambia qualcosa? e in caso quali sono gli esatti enunciati di questi teoremi?
grazie della pazienza cmq ragazzi
quindi il problema è che anche se i rapporti incrementali destro e sinistro coincidono*, non si può dire che la derivata in quel punto esiste se prima non so che è continua in quel punto?
però nella definizione di derivata non entra il concetto di continuità, se non sbaglio
* cioè, se in generale esiste il limite da destra e da sinistra e i due limiti conincidono, allora il limite esiste. Essendo derivata destra, sinistra due limiti, che coincidono, della stessa espressione (il rapporto incrementale di f), allora la derivata esiste. O il fatto che la funzione sia definita per tratti (e quindi non continua in quel punto) cambia qualcosa? e in caso quali sono gli esatti enunciati di questi teoremi?
grazie della pazienza cmq ragazzi
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