Dubbio studio funzione a due variabili
Studiare Dominio, Derivabilità, Differenziabilità ed eventuali max e min della seguente funzione :
$f(x,y)= sen(x+y)-cos(x-y)$
Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo :
- $D=R^2$
- $f'_x=cos(x+y)+sen(x-y)$ ; $f'_y=cos(x+y)-sen(x-y) $; ora per studiare la derivabilità (ovviamente nel dominio) devo soltanto osservare che le due derivate siano uguali ? (Questo punto non mi è chiaro)
- Ora so che se le due derivate prime sono continue la funzione è anche differenziabile. Per studiare la continuità delle derivate prime come faccio?
- risolvo il seguente sistema per la ricerca dei massimi e minimi :
${(cos(x+y)+sen(x-y)=0),(cos(x+y)-sen(x-y)=0):}
le soluzioni che ottengo sono ${(x=pi/4 + kpi),(y=pi/4 + kpi):}
ora le derivate seconde sono $f''_x=-sen(x+y)+cos(x-y)$ , $f''_y=-sen(x+y)-cos(x-y)$ , $f''_(xy)=f''_(yx)=-sen(x+y)-cos(x-y)$
ora ricavando il determinante della matrice Hessiana per il punto individuato ottengo $det H = 4>0$ ma il primo termine della matrice è $0$
come stabilisco di che punto si tratta ?
Chi puo darmi una mano a risolvere i miei dubbi ?
Grazie mille
$f(x,y)= sen(x+y)-cos(x-y)$
Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo :
- $D=R^2$
- $f'_x=cos(x+y)+sen(x-y)$ ; $f'_y=cos(x+y)-sen(x-y) $; ora per studiare la derivabilità (ovviamente nel dominio) devo soltanto osservare che le due derivate siano uguali ? (Questo punto non mi è chiaro)
- Ora so che se le due derivate prime sono continue la funzione è anche differenziabile. Per studiare la continuità delle derivate prime come faccio?
- risolvo il seguente sistema per la ricerca dei massimi e minimi :
${(cos(x+y)+sen(x-y)=0),(cos(x+y)-sen(x-y)=0):}
le soluzioni che ottengo sono ${(x=pi/4 + kpi),(y=pi/4 + kpi):}
ora le derivate seconde sono $f''_x=-sen(x+y)+cos(x-y)$ , $f''_y=-sen(x+y)-cos(x-y)$ , $f''_(xy)=f''_(yx)=-sen(x+y)-cos(x-y)$
ora ricavando il determinante della matrice Hessiana per il punto individuato ottengo $det H = 4>0$ ma il primo termine della matrice è $0$
come stabilisco di che punto si tratta ?
Chi puo darmi una mano a risolvere i miei dubbi ?
Grazie mille
Risposte
"frenky46":
Studiare Dominio, Derivabilità, Differenziabilità ed eventuali max e min della seguente funzione :
$f(x,y)= sen(x+y)-cos(x-y)$
Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo :
- $D=R^2$
OK.
"frenky46":
- $f'_x=cos(x+y)+sen(x-y)$ ; $f'_y=cos(x+y)-sen(x-y) $; ora per studiare la derivabilità (ovviamente nel dominio) devo soltanto osservare che le due derivate siano uguali ? (Questo punto non mi è chiaro)
E perchè mai dovrebbero essere uguali?
Le derivate che hai calcolato esistono dappertutto? Allora la tua funzione è derivabile dappertutto.
"frenky46":
- Ora so che se le due derivate prime sono continue la funzione è anche differenziabile. Per studiare la continuità delle derivate prime come faccio?
Basta ricordare che funzioni composte da funzioni continue sono continue.
"frenky46":
- risolvo il seguente sistema per la ricerca dei massimi e minimi :
${(cos(x+y)+sen(x-y)=0),(cos(x+y)-sen(x-y)=0):}
le soluzioni che ottengo sono ${(x=pi/4 + kpi),(y=pi/4 + kpi):}
Non dovrebbero essere $(pi/4 +kpi,pi/4+hpi)$ con $h,k\in ZZ$?
"gugo82":
E perchè mai dovrebbero essere uguali?
Le derivate che hai calcolato esistono dappertutto? Allora la tua funzione è derivabile dappertutto.
Ok quindi nel mio caso siccome son definite in tutto il dominio la funzione è derivabile in tutto $R^2$.
in pratica, io osservando il dominio delle mie derivate riesco a studiare sia la derivabilità che la differenziabilità,
ma nel caso avessi avuto come derivata una funzione non continua tipo $ln(x*y)$ come studiavo la continuità ?
"gugo89":
Non dovrebbero essere $(pi/4 +kpi,pi/4+hpi)$ con $h,k\in ZZ$?
si scusa, hai ragione, ma l'Hessiano mi esce uguale, e come lo risolvo ?
che ne dite?
La derivabilità puoi studiarla mediante la definizione (limite del rapporto).
La funzione però è definita in tutto $R^2$ e non è stata estesa in alcun punto, quindi è derivabile in tutto $R^2$.
Le derivate prime sono certamente continue, quindi la funzione è anche differenziabile
In generale però puoi usare anche la definizione per calcolare la differenziabilità, non devi per forza ricavare la continuità delle derivate prime.
La funzione però è definita in tutto $R^2$ e non è stata estesa in alcun punto, quindi è derivabile in tutto $R^2$.
Le derivate prime sono certamente continue, quindi la funzione è anche differenziabile
In generale però puoi usare anche la definizione per calcolare la differenziabilità, non devi per forza ricavare la continuità delle derivate prime.
"faximusy":
La derivabilità puoi studiarla mediante la definizione (limite del rapporto).
il rapporto delle derivate ?
"frenky46":
[quote="faximusy"]La derivabilità puoi studiarla mediante la definizione (limite del rapporto).
il rapporto delle derivate ?[/quote]
No , no , intendo il rapporto incrementale. Se per esempio sai che è derivabile in tutto $R^2$ meno l'origine, però è stata estesa nell'origine, fai
proprio il limite per $h->0$ di
$(f(h,0)-f(0,0))/h$, questo per quanto riguarda la derivata parziale di $x$, se esiste, allora è derivabile
$(f(0,h)-f(0,0))/h$, questo invece per quanto riguarda $y$;
i due limiti non devono essere uguali necessariamente, ma devono esistere entrambi
okok....capito.
Il mio dubbio era se devo osservare la derivabilità nel dominio (non in un punto particolare ) devo solo vedere che le due derivate siano definite?
Il mio dubbio era se devo osservare la derivabilità nel dominio (non in un punto particolare ) devo solo vedere che le due derivate siano definite?
Quando la funzione è definita in tutto $R^2$ a meno di un punto per studiare la derivabilità cosa devo fare ? devo osservare sempre che le derivate siano definite nel dominio ?
Devi studiare la derivabilità in quel punto, se la funzione è stata estesa in quel punto. Altrimenti non è necessario.
Tipo quegli esercizi dove dice vale TOT per $(x,y) != (0,0)$, e TOT (di solito $0$) per $(x,y) = (0,0)$
Tipo quegli esercizi dove dice vale TOT per $(x,y) != (0,0)$, e TOT (di solito $0$) per $(x,y) = (0,0)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo