Dubbio studio forme differenziali
Ciao a tutti,ho un dubbio nello svolgere gli esercizi sulle forme differenziali: supponiamo che io abbia un esercizio che mi chiede di studiare una forma differenziale e calcolarne, se possibile, la primitiva che si annulla in un determinato punto.
Supponiamo che la mia forma differenziale sia chiusa e che l'insieme di definizione NON sia semplicemente connesso,allora nel momento in cui vado a calcolare la primitiva ed essa esiste,ho verificato che la forma è anche esatta?
Inoltre,se invece, la mia forma differenziale non risulta esatta(poichè non chiusa per esempio),non posso calcolare la primitiva,giusto?
Supponiamo che la mia forma differenziale sia chiusa e che l'insieme di definizione NON sia semplicemente connesso,allora nel momento in cui vado a calcolare la primitiva ed essa esiste,ho verificato che la forma è anche esatta?
Inoltre,se invece, la mia forma differenziale non risulta esatta(poichè non chiusa per esempio),non posso calcolare la primitiva,giusto?
Risposte
Se il gradiente della primitiva che hai trovato è la forma differenziale, allora hai trovato una primitiva della forma, il che significa che la forma è esatta.
Se la forma non risulta esatta, non solo non puoi calcolarne la primitiva: la primitiva non esiste proprio.
Se la forma non risulta esatta, non solo non puoi calcolarne la primitiva: la primitiva non esiste proprio.
Qualora io avessi una forma chiusa in un insieme NON semplicemente connesso (nè unione di insiemi semplicemente connessi)),quale sarebbe il metodo migliore per capire se è esatta?
Calcolare la circuitazione della forma su una curva chiusa qualunque che contiene il "buco".
- Se la circuitazione è nulla, la forma è esatta (l'integrale di forme chiuse è invariante rispetto alle curve omotope)
- Se la circuitazione assume un valore diverso da $0$ la forma non è esatta.
- Se la circuitazione è nulla, la forma è esatta (l'integrale di forme chiuse è invariante rispetto alle curve omotope)
- Se la circuitazione assume un valore diverso da $0$ la forma non è esatta.
okok grazie per il tuo aiuto! 
Ma se invece,volessi provare a calcolare la primitiva,se essa esiste, allora posso dire che la forma è esatta e che viceversa non lo è?
Ma se invece,volessi provare a calcolare la primitiva,se essa esiste, allora posso dire che la forma è esatta e che viceversa non lo è?
Il viceversa non vale, perché la primitiva potrebbe esistere e tuttavia non essere calcolabile in maniera esplicita. Sulla prima implicazione invece dovresti avere ragione, dacché quella è la definizione di forma esatta: lo è se possiede una primitiva.
Grazie mille!
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