Dubbio studio della funzione $ \frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}$
Ciao a tutti,
ho dei dubbi sullo studio del segno della derivata della funzione indicata nel titolo, ovvero questa
$ \frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}$
Per fare lo studio di questa funzione io ho aperto il valore assoluto e studiando poi separatamente le funzioni che mi vengono e poi ho messo insieme i risultati.
$ f(x)={ ( \frac{2x-3x+1}{2-x} \mbox{ se }x\ge0 ),( \frac{2x+3x+1}{2+x} \mbox{ se }x<0 ):} $
Dominio:
Il dominio della prima è $ \mathbb{R}\{2} $ mentre quello della seconda è $ \mathbb{R}\\{-2} $, quindi il dominio della funzione principale è $ \mathbb{R}\{2, -2} $
Studio del segno:
Per la prima mi viene che è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, 1]\cup[2, +\infty) $
Per la secondami viene che è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, -2]\cup[-\frac{1}{5}, +\infty) $
Quindi la funzione originale è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, -2]\cup[-\frac{1}{5}, 1] \cup [2, +\infty) $
Calcolo degli asintoti:
$ lim_{x\to2^+-}\frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}=+-\infty $ quindi in $x=2$ si ha un asintoto verticale
$ lim_{x\to-2^+-}\frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}=-+ \infty $ qundi in $x=-2 $ si ha un asintoto verticale
$ lim_{x\to\infty}\frac{2x-3x+1}{2-x}=1 $ quindi in $y=1$ si ha un asintoto orizzontale
$ lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3x+1}{2+x}=5 $ quindi in $y=5$ si ha un asintoto orizzontale
Non sono presenti asintoti obliqui.
Derivata e studio del segno della derivata:
$ f(x)= {( \frac{-1}{(2-x)^2} \mbox{ se }x>0 ),( \frac{9}{(2+x)^2} \mbox{ se }x<0 ):} $ ma la prima è sempre negativa $\forallx$ mentre la seconda è sempre positiva $\forallx$..
Cosa c'è che sbaglio?
Grazie a tutti..
ho dei dubbi sullo studio del segno della derivata della funzione indicata nel titolo, ovvero questa
$ \frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}$
Per fare lo studio di questa funzione io ho aperto il valore assoluto e studiando poi separatamente le funzioni che mi vengono e poi ho messo insieme i risultati.
$ f(x)={ ( \frac{2x-3x+1}{2-x} \mbox{ se }x\ge0 ),( \frac{2x+3x+1}{2+x} \mbox{ se }x<0 ):} $
Dominio:
Il dominio della prima è $ \mathbb{R}\{2} $ mentre quello della seconda è $ \mathbb{R}\\{-2} $, quindi il dominio della funzione principale è $ \mathbb{R}\{2, -2} $
Studio del segno:
Per la prima mi viene che è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, 1]\cup[2, +\infty) $
Per la secondami viene che è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, -2]\cup[-\frac{1}{5}, +\infty) $
Quindi la funzione originale è positiva nell'unione degl'intervalli $ (-\infty, -2]\cup[-\frac{1}{5}, 1] \cup [2, +\infty) $
Calcolo degli asintoti:
$ lim_{x\to2^+-}\frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}=+-\infty $ quindi in $x=2$ si ha un asintoto verticale
$ lim_{x\to-2^+-}\frac{2x-3|x|+1}{2-|x|}=-+ \infty $ qundi in $x=-2 $ si ha un asintoto verticale
$ lim_{x\to\infty}\frac{2x-3x+1}{2-x}=1 $ quindi in $y=1$ si ha un asintoto orizzontale
$ lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3x+1}{2+x}=5 $ quindi in $y=5$ si ha un asintoto orizzontale
Non sono presenti asintoti obliqui.
Derivata e studio del segno della derivata:
$ f(x)= {( \frac{-1}{(2-x)^2} \mbox{ se }x>0 ),( \frac{9}{(2+x)^2} \mbox{ se }x<0 ):} $ ma la prima è sempre negativa $\forallx$ mentre la seconda è sempre positiva $\forallx$..
Cosa c'è che sbaglio?
Grazie a tutti..
Risposte
E' giusto che sia così. Decrescerà in $]0,2[$ e in $]2,+\infty[$, mentre crescerà in $]-\infty,-2[$ e in $]-2,0[$.
a bugger: Cosa succede in $x=0$?
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