Dubbio studio carattere serie numeriche
salve ragazzi
mi sto cimentando nelle serie numeriche ma non sto riuscendo a risolvere le seguenti serie
per tutte mi viene chiesto di studiarne il carattere
$ sum_(n=1) [(-1)^n*n!*sqrtn]/[(n+3)!] $
$ sum_(n=1) (-1)^n *[sin(1/n)]/(n+1) $
$ sum_(n=0) (-1)^n *[cosn]/n^pi $
attendo consigli e grazie in anticipo
mi sto cimentando nelle serie numeriche ma non sto riuscendo a risolvere le seguenti serie
per tutte mi viene chiesto di studiarne il carattere
$ sum_(n=1) [(-1)^n*n!*sqrtn]/[(n+3)!] $
$ sum_(n=1) (-1)^n *[sin(1/n)]/(n+1) $
$ sum_(n=0) (-1)^n *[cosn]/n^pi $
attendo consigli e grazie in anticipo
Risposte
hai provato ad applicare il criterio di Leibniz?
grazie del suggerimento.
nel primo ex ho applicato il criterio del rapporto, son riuscito a togliere n! e poi mi son bloccato
nel secondo ex ho applicato leibniz ma mi son ritrovato una disequazione alla quale non riesco a ricavare la n al numeratore, l'unica cosa che ho ricavato è che per n=1 la serie diverge + mentre per n=2 in poi la serie converge semplicemente (al denominatore la funzione cresce per $ (-oo,-2)U(-1,+oo) $ )
nel primo ex ho applicato il criterio del rapporto, son riuscito a togliere n! e poi mi son bloccato
nel secondo ex ho applicato leibniz ma mi son ritrovato una disequazione alla quale non riesco a ricavare la n al numeratore, l'unica cosa che ho ricavato è che per n=1 la serie diverge + mentre per n=2 in poi la serie converge semplicemente (al denominatore la funzione cresce per $ (-oo,-2)U(-1,+oo) $ )
per quanto riguarda la prima e la terza è facile dimostrare che addirittura convergono assolutamente
per la seconda,il criterio di Leibniz è la morte sua
per la seconda,il criterio di Leibniz è la morte sua
ok qui son tonno io 
al primo esercizio
tolgo n! e mi rimane $ sum [(-1)^n *sqrt(n)]/(n+3) $
metto tutto tra valore assoluto e diventa $ sqrt(n)/(n+3) $
per confronto "tolgo il +3", elevo tutto al quadrato e semplifico e mi esce questo $ sum 1/n $
che equivale ad una serie armonica generalizzata, alpha=1 quindi la serie diverge posit... non ne son convinto
sulle altre ci sto lavorando
al primo esercizio
tolgo n! e mi rimane $ sum [(-1)^n *sqrt(n)]/(n+3) $
metto tutto tra valore assoluto e diventa $ sqrt(n)/(n+3) $
per confronto "tolgo il +3", elevo tutto al quadrato e semplifico e mi esce questo $ sum 1/n $
che equivale ad una serie armonica generalizzata, alpha=1 quindi la serie diverge posit... non ne son convinto
sulle altre ci sto lavorando
guarda che $(n!)/((n+3)!)= 1/((n+1)(n+2)(n+3))$ 
qui mi è scappata una parolaccia ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
ho letto da qualche parte che $ (n+1)! = (n+1)n! $ (è giusto?) ma essendo un fattoriale appunto devo ripeterla per k volte per ogni numero minore uguale a k (per k intendo il numero appartenente a N)
perdonate il mio matematichese
quindi per confronto diventa $ sqrt(n)/(n^3) $ e così dovrebbe convergere... oppure ho cannato di nuovo?
ho letto da qualche parte che $ (n+1)! = (n+1)n! $ (è giusto?) ma essendo un fattoriale appunto devo ripeterla per k volte per ogni numero minore uguale a k (per k intendo il numero appartenente a N)
perdonate il mio matematichese
quindi per confronto diventa $ sqrt(n)/(n^3) $ e così dovrebbe convergere... oppure ho cannato di nuovo?
giusto,il termine generale è asintotico a quello che hai scritto
ragazzi miei, vediamo se ho capito
al secondo ex, sin(1/n) è un valore finito, quindi asintoticamente an equivale a $ 1/(n+1) $
quindi $ a_n > a_(n+1) $ -> $ 1/(n+1) > 1/(n+2) $
il limite ovviamente tende a 0
rispettando le ipotesi converge per leibniz... è giusto?
EDIT, la stessa cosa mi viene per il terzo ex... attendo suggerimenti grazie
al secondo ex, sin(1/n) è un valore finito, quindi asintoticamente an equivale a $ 1/(n+1) $
quindi $ a_n > a_(n+1) $ -> $ 1/(n+1) > 1/(n+2) $
il limite ovviamente tende a 0
rispettando le ipotesi converge per leibniz... è giusto?
EDIT, la stessa cosa mi viene per il terzo ex... attendo suggerimenti grazie
ho fatto un altro ex questo $ sum_(n=1) (-1)^n n/(n^2-lg(n)) $
limite = 0
poi $ a_n > a_(n+1) $ quindi $ a_(n+1) = [-n^2-lgn+1]/[n^4+(lg(n))^2-2n^2lgn] $
asintoticamente la trasformo in $ -n^2/n^4 $ il meno lo caccio fuori dalla serie, semplifico ed esce $ 1/n^2 $ che equivale ad una serie armonia quindi converge... ho cannato da qualche parte?
limite = 0
poi $ a_n > a_(n+1) $ quindi $ a_(n+1) = [-n^2-lgn+1]/[n^4+(lg(n))^2-2n^2lgn] $
asintoticamente la trasformo in $ -n^2/n^4 $ il meno lo caccio fuori dalla serie, semplifico ed esce $ 1/n^2 $ che equivale ad una serie armonia quindi converge... ho cannato da qualche parte?
per il secondo basta utilizzare leibniz, esatto: vedi che al tendere di n a \(\displaystyle + \infty \), il limite va a zero (ed è la prima condizione), poi è semplice vedere, come hai infatti scritto, che è decrescente (seconda condizione): detto questo, puoi dire che converge secondo leibniz.
per la terza, com'era già stato suggerito prima, puoi passare al modulo, quindi tentare la strada della convergenza assoluta: con le disuguaglianze che sicuramente conosci, riesci a provare che quella converge assolutamente
per la terza, com'era già stato suggerito prima, puoi passare al modulo, quindi tentare la strada della convergenza assoluta: con le disuguaglianze che sicuramente conosci, riesci a provare che quella converge assolutamente
le condizioni mi son chiare, quello che volevo capire è se il procedimento da me usato è corretto, cioè usare prima il criterio del confronto asintotico e poi con la nuova a_n imporre la condizione e dire che questa converge come la serie di partenza... ecco il mio dubbio 
per il terzo ex ho trovato più immediato usare leibniz, asintoticamente dico che il coseno è uguale a un numero finito e la situazione mi si semplifica
per il terzo ex ho trovato più immediato usare leibniz, asintoticamente dico che il coseno è uguale a un numero finito e la situazione mi si semplifica
"hero_94":
ho fatto un altro ex questo $ sum_(n=1) (-1)^n n/(n^2-lg(n)) $
limite = 0
poi $ a_n > a_(n+1) $ quindi $ a_(n+1) = [-n^2-lgn+1]/[n^4+(lg(n))^2-2n^2lgn] $
asintoticamente la trasformo in $ -n^2/n^4 $ il meno lo caccio fuori dalla serie, semplifico ed esce $ 1/n^2 $ che equivale ad una serie armonia quindi converge... ho cannato da qualche parte?
il limite tende a zero, è sicuramente decrescente, sì converge per leibniz
"hero_94":
le condizioni mi son chiare, quello che volevo capire è se il procedimento da me usato è corretto, cioè usare prima il criterio del confronto asintotico e poi con la nuova a_n imporre la condizione e dire che questa converge come la serie di partenza... ecco il mio dubbio
per il terzo ex ho trovato più immediato usare leibniz, asintoticamente dico che il coseno è uguale a un numero finito e la situazione mi si semplifica
mi sono un attimo perso nella domanda: se usi il criterio di leibniz, a che serve ricondurti al criterio del confronto asintotico?
mmm... giusto, credo di essermi sbagliato nel esprimermi
in realtà è stata più una semplificazione... il seno e coseno mi danno fastidio ma essendo alla fine dei numeri finiti che vanno da 1 a -1 e cerco di trasformarli in tali... solo che credo che il procedimento non sia esatto
in realtà è stata più una semplificazione... il seno e coseno mi danno fastidio ma essendo alla fine dei numeri finiti che vanno da 1 a -1 e cerco di trasformarli in tali... solo che credo che il procedimento non sia esatto
"hero_94":
mmm... giusto, credo di essermi sbagliato nel esprimermi
in realtà è stata più una semplificazione... il seno e coseno mi danno fastidio ma essendo alla fine dei numeri finiti che vanno da 1 a -1 e cerco di trasformarli in tali... solo che credo che il procedimento non sia esatto
Questo ragionamento puoi farlo lecitamente quando ragioni in termini di valore assoluto, quindi convergenza assoluta che ovvia al criterio di Leibniz, perché sai che modulo di seno e coseno sono minori o uguali di uno
salve ragazzi, ho giusto qualche dubbio, mi serve una verifica veloce
$ Sigma_(n = 1)^(+oo) (-1)^n(2n+1)/(n^2+1) $
col criterio del rapporto l'integrale esce 1, quindi nisba
la convergenza non è assoluta, ma lo si capisce facilmente anche sostituendo a n qualche valore
col leibniz arrivo alla fine a questo termine
$ 2n^3+3n^2+2n+3<2n^3+5n^2+6n+2 $
ovviamente la diseguaglianza è veritiera e si vede ad occhio nudo quindi per il criterio di leibniz posso dire che la serie converge, giusto?
al momento dell'esame non so per quale motivo non son riuscito a risolverlo, ora invece fatto con calma a casa mi sembra assai banale ecco il motivo di questa insicurezza
$ Sigma_(n = 1)^(+oo) (-1)^n(2n+1)/(n^2+1) $
col criterio del rapporto l'integrale esce 1, quindi nisba
la convergenza non è assoluta, ma lo si capisce facilmente anche sostituendo a n qualche valore
col leibniz arrivo alla fine a questo termine
$ 2n^3+3n^2+2n+3<2n^3+5n^2+6n+2 $
ovviamente la diseguaglianza è veritiera e si vede ad occhio nudo quindi per il criterio di leibniz posso dire che la serie converge, giusto?
al momento dell'esame non so per quale motivo non son riuscito a risolverlo, ora invece fatto con calma a casa mi sembra assai banale ecco il motivo di questa insicurezza
giusto per togliermi ogni dubbio
sommatoria di $ (-1)^n (n!)/(n^n+n^3) $
con leibniz l'integrale è uguale a 0
la diseguaglianza alla fine esce
$ 1/[(n+1)^(n+1)+(n+1)^2]<1/(n^n+n^3) $
chiaramente il primo termine ha un denominatore più grande del secondo e quindi è più piccolo, per leibniz la serie converge, giusto?
sommatoria di $ (-1)^n (n!)/(n^n+n^3) $
con leibniz l'integrale è uguale a 0
la diseguaglianza alla fine esce
$ 1/[(n+1)^(n+1)+(n+1)^2]<1/(n^n+n^3) $
chiaramente il primo termine ha un denominatore più grande del secondo e quindi è più piccolo, per leibniz la serie converge, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo