Dubbio stime asintotiche relative a integrali impropri

[HelpThermoo]

Salve a tutti , volevo chiedervi se il ragionamento che ho fatto in merito a questo esercizio è corretto .

$ int_(2)^(3) [xsen^a(x-2)]/[sqrt(x^2 - 4)] dx $

Mi si chiede di studiarne la sommabilità nell'intevallo (2,3]

Dunque la funzione dovrebbe essere a termini positivi nell'intervallo considerato giusto? quindi non c'è bisogno di usare il modulo .

Poi ho usato il confronto asintotico :

Ho pensato che il numeratore , per x ----> 2 fosse asintotico a :

$ xsen^a(x-2)~ 2(x-2)^a $

Mentre il denominatore , sempre per x ----> 2 :

$ sqrt(x^2 - 4) = sqrt[(x-2)(x+2)] ~ 2sqrt(x-2) $

Quindi ottengo una funzione asintotica a :

$ [2(x-2)^a]/[2sqrt(x-2)] = (x-2)^(a-1/2) $

E mi sono ricondotto a un integrale improprio notevole ,
quindi se

$ -(a-1/2) < 1 ; a > - 1/2 $

la funzione è sommabile nell'intervallo richiesto .

E' giusto secondo voi?
Il dubbio che ho è sulle stime asintotiche , ho paura siano un pò arbitrarie .
Perchè quando mi trovo in intorni di 0 ; infinito , è più facile ...nel senso che sono in
grado quasi subito di trovare funzioni asintotiche , o almeno che si comportano ugualmente .
Ma il confronto asintotico in un intorno di un numero reale ancora non mi è così limpido..qui ad esempio
ci sono andato ad intuito xD

[gugo82]

Tutto giusto.

[dissonance]

Sono d'accordo con Gugo che è corretto, aggiungo solo che se proprio ti scoccia condurre la tua analisi intorno a $2$ puoi sempre usare la sostituzione $y=x-2$.

[HelpThermoo]

Grazie mille tra poco ne posto un altro che non ho compreso a fondo..
E' vero dissonance...non ci avevo pensato prima xDD merci!