Dubbio sottosuccessione
Data la serie armonica classica, e definita la somma parziale n-Sima $ Sn=1 +1/2 +1/3+1/4+...+1/n $.
Non capisco questa frase : consideriamo la sottosuccessione $S(2n)=S2 +S4+S6 +S2n$
Sostanzialmente qual è questa successione?
E perché poi viene definita in questo modo :
$ S2n=1 +1/2 +1/3+...+1/n+1/(n+1)...+1/(2n) $
La sottosuccessione definita in questo modo, contiene anche i termini della successione di partenza.. Come è possibile?Essendo un'estratta dovrebbe contenere solo alcuni termini della successione di partenza, anche se infiniti
Non capisco questa frase : consideriamo la sottosuccessione $S(2n)=S2 +S4+S6 +S2n$
Sostanzialmente qual è questa successione?
E perché poi viene definita in questo modo :
$ S2n=1 +1/2 +1/3+...+1/n+1/(n+1)...+1/(2n) $
La sottosuccessione definita in questo modo, contiene anche i termini della successione di partenza.. Come è possibile?Essendo un'estratta dovrebbe contenere solo alcuni termini della successione di partenza, anche se infiniti
Risposte
Ciao 
La successione che si sta considerando è $S_n=sum_(k=1)^(n)1/k$ quindi la sottosuccessione va presa di questa e non del termine generico infatti considera
Perché sottosuccessione? Perché calcoli le somme parziali che finiscono con il reciproco di un numero pari e non avrai mai che questa possa finire per esempio con $1/3,1/5$ o con un generico numero dispari quindi fondamentalmente stai considerando “meno” termini ma della successione delle somme parziali e non del termine generico
La successione che si sta considerando è $S_n=sum_(k=1)^(n)1/k$ quindi la sottosuccessione va presa di questa e non del termine generico infatti considera
$S_(2n)=sum_(k=1)^(2n)1/k=1+1/2+...+1/(2n)$
Perché sottosuccessione? Perché calcoli le somme parziali che finiscono con il reciproco di un numero pari e non avrai mai che questa possa finire per esempio con $1/3,1/5$ o con un generico numero dispari quindi fondamentalmente stai considerando “meno” termini ma della successione delle somme parziali e non del termine generico
Perché il prof include però anche 1/(n+1), questo non dovrebbe essere un termine dispari?dovrebbe essere così no? $ S2n=1 +1/2 +...+1/(n+2)+1/(n+4)...+1/(2n) $
Nope.
Così stai modificando i termini del termine generico; puoi tranquillamente avere termini dispari nella somma ma in questo caso l’ultimo è sempre della forma $1/(2n)$ che è quindi pari
Per esempio se avessi $S_k=sum_(k=1)^(n)a_k$
Una cosa è $S_(2n)=sum_(k=1)^(2n)a_k$ e un’altra cosa è $sum_(k=1)^(n)a_(2k)$
La prima è una sottosuccessione di ${S_n}_(n inNN)$
La seconda è proprio un’altra somma ottenuta considerando una sottosuccessione del termine generico
Così stai modificando i termini del termine generico; puoi tranquillamente avere termini dispari nella somma ma in questo caso l’ultimo è sempre della forma $1/(2n)$ che è quindi pari
Per esempio se avessi $S_k=sum_(k=1)^(n)a_k$
Una cosa è $S_(2n)=sum_(k=1)^(2n)a_k$ e un’altra cosa è $sum_(k=1)^(n)a_(2k)$
La prima è una sottosuccessione di ${S_n}_(n inNN)$
La seconda è proprio un’altra somma ottenuta considerando una sottosuccessione del termine generico
"anto_zoolander":
Nope.
Così stai modificando i termini del termine generico; puoi tranquillamente avere termini dispari nella somma ma in questo caso l’ultimo è sempre della forma $1/(2n)$ che è quindi pari
Per esempio se avessi $S_k=sum_(k=1)^(n)a_k$
Una cosa è $S_(2n)=sum_(k=1)^(2n)a_k$ e un’altra cosa è $sum_(k=1)^(n)a_(2k)$
La prima è una sottosuccessione di ${S_n}_(n inNN)$
La seconda è proprio un’altra somma ottenuta considerando una sottosuccessione del termine generico
Perché scrive questo lui $ S2n=1 +1/2 +...+1/n+1/(n+1)...+1/(2n) $ non ci sto capendo nullaaa.
Scritta così come dice lui, la sottosuccessione contiene più termini rispetto alla successione di partenza! Come è possibile? Una sottosuccessione dovrebbe contenere meno termini?!
sicuramente intanto avrà scritto
C’era un $+$ in meno.
Significa sostanzialmente che la somma è di tutti i reciproci fino al numero $1/(2n)$. Per esempio se $n=3$ diventa
Avrà scritto i termini $1/n$ e $1/(n+1)$ per sottolineare che la somma parziale supera $1/n$ e arriva fino a $1/(2n)$
aggiungo dopo aver visto la tua modifica
Una somma parziale contiene “più numeri” e non la successione.
La successione $S_(2n)$ non ti permette per esempio ti calcolare
Perché non puoi scrivere $5$ come $2*n$
Quindi sostanzialmente ${S_(2n)}_(n inNN)$ contiene meno somme parziali di ${S_(n)}_(n inNN)$ in quanto non contiene per esempio la somma $1+1/2+1/3+1/4+1/5$
$S_(2n)=1+1/2+...+1/n+1/(n+1)+...+1/(2n)$
C’era un $+$ in meno.
Significa sostanzialmente che la somma è di tutti i reciproci fino al numero $1/(2n)$. Per esempio se $n=3$ diventa
$S_(2n)=S_(2*3)=S_6=sum_(k=1)^(6)1/k=1+1/2+underbrace(1/3)_(1/n)+underbrace(1/4)_(1/(n+1))+1/5+underbrace(1/6)_(1/(2n))$
Avrà scritto i termini $1/n$ e $1/(n+1)$ per sottolineare che la somma parziale supera $1/n$ e arriva fino a $1/(2n)$
aggiungo dopo aver visto la tua modifica
Una somma parziale contiene “più numeri” e non la successione.
La successione $S_(2n)$ non ti permette per esempio ti calcolare
$sum_(k=1)^(5)1/k$
Perché non puoi scrivere $5$ come $2*n$
Quindi sostanzialmente ${S_(2n)}_(n inNN)$ contiene meno somme parziali di ${S_(n)}_(n inNN)$ in quanto non contiene per esempio la somma $1+1/2+1/3+1/4+1/5$
Ho capito probabilmente, ma mi resta ancora un dubbio :
La sottosuccessione non dovrebbe essere un'estratta della successione di partenza? Quindi S2n non dovrebbe essere contenuta in Sn?
La sottosuccessione non dovrebbe essere un'estratta della successione di partenza? Quindi S2n non dovrebbe essere contenuta in Sn?
Sì, come infatti è.
"gugo82":
Sì, come infatti è.
Si ma in questo caso l'estratta contiene il doppio degli elementi rispetto alla successione di partenza. Come è possibile? L'estratta va da 1...a..1/n....a 1/2n, quindi in totale abbiamo 2n termini, la successione di partenza invece va da 1...a..1/n quindi n termini. Come è possibile? Dove sbaglio?
I termini della successione sono le somme e non gli elementi che compaiono
"anto_zoolander":
I termini della successione sono le somme e non gli elementi che compaiono
Non riesco a convincermi , mi sa che sono proprio scemo
Secondo me non sei scemo; hai formazioni sbagliate.
Ti è chiaro che $S_n=sum_(k=1)^(n)1/k$ sia una successione e che i termini di questa successione siano le somme?
Se è si; ti è anche chiaro che “ciò che varia” è il numero sopra il simbolo di sommatoria?
A questo punto se quando sostituisci a $n$ il termine $2n$ lo stai sostituendo alla somma ovvero stai calcolando una parte di tutte le possibili somme in quando ad apice metti sostanzialmente un numero pari.
È normale che compaiano “più termini” ma è una cosa del tutto apparente in quanto stai semplicemente calcolando la somma fino ad un certo indice pari ed è chiaro che la somma fino ad $n$ sia più corta della somma fino a $2n$ ma quello che deve interessarti è che stai scartando, dalla tua successione di somme, quelle che finiscono con un numero dispari per esempio $1/3$,$1/17$,$1/3121$
È tutta la questione di capire chi siano i termini della successione
In $a_n=q^n$ sono le potenze intere di $q$
In $S_n=sum_(k=0)^(n)q^k$ sono le somme delle potenze intere di $q$
Una sottosuccessione di $a_n$ ti scarta alcune potenze
Una sottosuccessione di $S_n$ ti scarta alcune somme di tali potenze
Ti è chiaro che $S_n=sum_(k=1)^(n)1/k$ sia una successione e che i termini di questa successione siano le somme?
Se è si; ti è anche chiaro che “ciò che varia” è il numero sopra il simbolo di sommatoria?
A questo punto se quando sostituisci a $n$ il termine $2n$ lo stai sostituendo alla somma ovvero stai calcolando una parte di tutte le possibili somme in quando ad apice metti sostanzialmente un numero pari.
È normale che compaiano “più termini” ma è una cosa del tutto apparente in quanto stai semplicemente calcolando la somma fino ad un certo indice pari ed è chiaro che la somma fino ad $n$ sia più corta della somma fino a $2n$ ma quello che deve interessarti è che stai scartando, dalla tua successione di somme, quelle che finiscono con un numero dispari per esempio $1/3$,$1/17$,$1/3121$
È tutta la questione di capire chi siano i termini della successione
In $a_n=q^n$ sono le potenze intere di $q$
In $S_n=sum_(k=0)^(n)q^k$ sono le somme delle potenze intere di $q$
Una sottosuccessione di $a_n$ ti scarta alcune potenze
Una sottosuccessione di $S_n$ ti scarta alcune somme di tali potenze
"anto_zoolander":
Secondo me non sei scemo; hai formazioni sbagliate.
Ti è chiaro che $S_n=sum_(k=1)^(n)1/k$ sia una successione e che i termini di questa successione siano le somme?
Se è si; ti è anche chiaro che “ciò che varia” è il numero sopra il simbolo di sommatoria?
A questo punto se quando sostituisci a $n$ il termine $2n$ lo stai sostituendo alla somma ovvero stai calcolando una parte di tutte le possibili somme in quando ad apice metti sostanzialmente un numero pari.
È normale che compaiano “più termini” ma è una cosa del tutto apparente in quanto stai semplicemente calcolando la somma fino ad un certo indice pari ed è chiaro che la somma fino ad $n$ sia più corta della somma fino a $2n$ ma quello che deve interessarti è che stai scartando, dalla tua successione di somme, quelle che finiscono con un numero dispari per esempio $1/3$,$1/17$,$1/3121$
È tutta la questione di capire chi siano i termini della successione
In $a_n=q^n$ sono le potenze intere di $q$
In $S_n=sum_(k=0)^(n)q^k$ sono le somme delle potenze intere di $q$
Una sottosuccessione di $a_n$ ti scarta alcune potenze
Una sottosuccessione di $S_n$ ti scarta alcune somme di tali potenze
Ecco non capisco in pratica cosa vado a scartare, esempio s2n=1+1/2+1/3+..+1/2n se faccio la somma di tutti questi, sto sommando tutti i termini no? Quindi in pratica cosa vado a scartare?
Vai a scartare le somme che finiscono con il reciproco di un dispari!
quando sommi da $1$ a $2n$ l'ultimo numero che sommi non è mai dispari quindi la successione di somme parziali non contiene tutte le somma che finiscono con un dispari
quando sommi da $1$ a $2n$ l'ultimo numero che sommi non è mai dispari quindi la successione di somme parziali non contiene tutte le somma che finiscono con un dispari
Ma la somma di successioni parziali si muove in questi modo?
1+1/2
1+1/2+1/4
1+1/2+1/4+1/6 +1/2n e così via?
1+1/2
1+1/2+1/4
1+1/2+1/4+1/6 +1/2n e così via?
quella generale si muove come
la sottosuccessione invece
come vedi terminano tutti con il reciproco di un pari
$1$
$1+1/2$
$1+1/2+1/3$
$1+1/2+1/3+1/4$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5$
$1+1/2$
$1+1/2+1/3$
$1+1/2+1/3+1/4$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5$
la sottosuccessione invece
$1+1/2$
$1+1/2+1/3+1/4$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8$
$1+1/2+1/3+1/4$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6$
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8$
come vedi terminano tutti con il reciproco di un pari
Grazie mille ho finalmente capito, almeno lo spero xD
figurati
prova a farti degli esempi come $sum_(k=1)^(2n+1)1/k$ e vedere cosa cambia
prova a farti degli esempi come $sum_(k=1)^(2n+1)1/k$ e vedere cosa cambia
Quella dovrebbe essere la successione delle somme di tutti i termini che terminano con l'inverso di un numero disparo?
1
1+1/2+1/3
1+1/2+1/3+1/5
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...1/(2n+1)
1
1+1/2+1/3
1+1/2+1/3+1/5
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...1/(2n+1)
Si è corretto
prova a fare lo stesso con la successione $S_n=sum_(k=0)^(n)sin(k)$
com'è combinata la sottosuccessione $S_(n^2)=sum_(k=0)^(n^2)sin(k)$?
prova a fare lo stesso con la successione $S_n=sum_(k=0)^(n)sin(k)$
com'è combinata la sottosuccessione $S_(n^2)=sum_(k=0)^(n^2)sin(k)$?
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