Dubbio Sommatoria

[andyoso]

Salve a tutti,
"un tempo" sapevo bene che $ sum x^i * i $ è una sommatoria notevole e quanto essa vale.

ora però la testa non mi assiste....potete rinfrescarmi le idee su quanto valga questa sommatoria??
Vi ringrazio!

[salvozungri]

Per sommatoria intendi la serie $\sum_{i=0}^\infty i x^i$ ? Se è così allora si può dimostrare che essa vale $\frac{x}{(x-1)^2}$, $\forall x\in \mathbb{R} " t.c. "|x|<1$.
Una dimostrazione di questo fatto richiede la conoscenza della serie geometrica, e il teorema di derivazione per le serie di potenze.

[andyoso]

"Mathematico":Per sommatoria intendi la serie $\sum_{i=0}^\infty i x^i$ ? Se è così allora si può dimostrare che essa vale $\frac{x}{(x-1)^2}$, $\forall x\in \mathbb{R} " t.c. "|x|<1$.
Una dimostrazione di questo fatto richiede la conoscenza della serie geometrica, e il teorema di derivazione per le serie di potenze.

No, in realtà intendo: $ sum_(i = 0)^(k) ix^i $ $ AA x in RR $

[salvozungri]

$sum_(i=0)^ki x^i = ((k x-k-1) x^(k+1)+x)/(1-x)^2$, lo dimostri per induzione su $k$.

[andyoso]

grazie era proprio quello che cercavo!

[salvozungri]

Mi sono dimenticato di dirti che quella formula vale per ogni $x\ne 1$, per $x=1$ vale invece:

$\sum_{i=0}^k i= (k(k+1))/2$, lo dimostri sempre per induzione su $k$.