DUBBIO Serie numerica. Convergenza semplice e assoluta!

[55sarah]

Ciao tutti, chiedo di aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio. È un tema d'esame
Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie

\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n (\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}) \)

io l'ho svolta così
sapendo che convergenza assoluta \(\displaystyle \Rightarrow \) convergenza semplice NON è vero il viceversa!

ho calcolato la convergenza assoluta della serie

\(\displaystyle |a_n|=|\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}|=\sqrt[n]{n+1}+\cos\frac{1}{n+1}=n^n\sqrt[n]{1+\frac{1}{n^n}}+\cos\frac{1}{n+1}\sim n^n\frac{1}{2n^n}+\frac{1}{2 (n+1)^2}\sim\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n^2} \)

si ha che \(\displaystyle \sum_{n=2} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n^2}) \) è convergente!...

IN CONCLUSIONE.. la serie converge assolutamente, quindi converge!

È ESATTO QUESTA RISOLUZIONE DI QUESTO ESERCIZIO? Non ne sono del tutto sicura di aver svolto l'esercizio in modo corretto!..dv ci sono errori?

[gugo82]

No, hai sbagliato a fare i conti valutando \(|a_n|\).
Riprova.

[55sarah]

in che senso che ho sbagliato a fare i conti in \(\displaystyle |a_n| \)?.. non capisco cosa mi vuole dire

1 piccolo aiutino? per favore.. grazie!

[gugo82]

Innanzitutto, hai sbagliato nel levare il valore assoluto.
Poi hai sbagliato esponente quando hai tratto \(n^n\) fuori dalla radice.

Inoltre non ho capito come hai applicato i limiti notevoli per ricavare le espressioni asintotiche, né perché una serie del tipo \(\sum_{n=2}^\infty \left( \frac{1}{2} +\frac{1}{2n^2}\right)\) dovrebbe convergere...

[55sarah]

ah dovevo lasciare il valore assoluto per cui dovevo lasciarla scritta così? \(\displaystyle |\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}| \)

giusto?

per le espressioni asintotiche ho usato gli sviluppi notevoli \(\displaystyle \cos(\varepsilon n)=1-\frac{(\varepsilon n)^2}{2}+o(\varepsilon^n) \) \(\displaystyle \varepsilon\rightarrow 0 \)

qui c'era \(\displaystyle \cos\frac{1}{n+1} = 1-\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{2}+o(\frac{1}{n^2})=1-\frac{1}{2(n+1)^2}+o(\frac{1}{n^2})\)

e la serie \(\displaystyle \sum (\frac{1}{2}+\frac{1}{2n^2}) \) converge perchè \(\displaystyle \sum\frac{1}{2}+\sum\frac{1}{2n^2} \) quest'utlima converge!..è una serie convergente!..

cosa c'è di sbagliato?

[gugo82]

"55sarah":ah dovevo lasciare il valore assoluto per cui dovevo lasciarla scritta così? \(\displaystyle |\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}| \)

giusto?

Beh, potevi anche levare il valore assoluto, ma non come hai fatto tu.

Infatti si ha:
\[
\sqrt[n]{n+1}\geq \sqrt[n]{1}=1\geq \cos \frac{1}{n+1}
\]
quindi:
\[
|a_n|=\sqrt[n]{n+1} - \cos \frac{1}{n+1} =a_n\; .
\]

"55sarah":per le espressioni asintotiche ho usato gli sviluppi notevoli \(\displaystyle \cos(\varepsilon n)=1-\frac{(\varepsilon n)^2}{2}+o(\varepsilon^n) \) \(\displaystyle \varepsilon\rightarrow 0 \)

qui c'era \(\displaystyle \cos\frac{1}{n+1} = 1-\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{2}+o(\frac{1}{n^2})=1-\frac{1}{2(n+1)^2}+o(\frac{1}{n^2})\)

E questo va benissimo.
Ma il passaggio \(\sqrt[n]{n+1} =n^n \sqrt[n]{1+1/n^n}\)?

"55sarah":e la serie \(\displaystyle \sum (\frac{1}{2}+\frac{1}{2n^2}) \) converge perchè \(\displaystyle \sum\frac{1}{2}+\sum\frac{1}{2n^2} \) quest'utlima converge!..è una serie convergente!..cosa c'è di sbagliato?

L'ultimo addendo è convergente... Ma il primo?

[55sarah]

ah ok ok!..

ora forse ci sono cmq,..

è così .. \(\displaystyle \sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}= n^{\frac{1}{n}}(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}-\cos\frac{1}{n+1}=n^{\frac{1}{n}}\frac{1}{n^2}-(1-\frac{1}{2(n+1)^2}+o(\frac{1}{n^2}))=n^{\frac{1}{n}-2}+\frac{1}{2n^2}\)

nell'ultimo uguale ho scritto \(\displaystyle +\frac{1}{2n^2} \) xkè \(\displaystyle (1-\frac{1}{2(n+1)^2}+o(\frac{1}{n^2}))\sim -\frac{1}{2n^2} \)

sta di fatto che ora ho ottenuto questo risultato \(\displaystyle n^{\frac{1}{n}-2}+\frac{1}{2n^2} \)

ora andrei avanti così \(\displaystyle e^{\ln(n)^{\frac{1}{n}-2}}+\frac{1}{2n^2} \)

ma non so ancora se sono sulla strada giusta.. è esatto?