Dubbio serie di potenze
Ciao a tutti! Ho questa serie di potenze, $\sum_{n=0}^\infty 1/n*((x+2)/2)^n$, l'ho riscritta in questo modo $\sum_{n=0}^\infty 1/n*(1/2)^n*(x+2)^n$ altrimenti il raggio di convergenza non mi viene (deve venire 2)... Voi che dite? E' giusto?
Risposte
Mi pare che vai bene . Infatti risulta :
\(\displaystyle \lim_{n->+{\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n->+{\infty}} \left(\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\)
Pertanto il raggio di convergenza è il reciproco del limite precedente ed è quindi =2. L'intervallo di convergernza , tenuto conto che il punto iniziale della serie di potenze è -2, sarà l'intervallo ( aperto) ]-4,0[. La convergenza o meno per x=-4 e x=0 la lascio verificare a te.
\(\displaystyle \lim_{n->+{\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n->+{\infty}} \left(\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\)
Pertanto il raggio di convergenza è il reciproco del limite precedente ed è quindi =2. L'intervallo di convergernza , tenuto conto che il punto iniziale della serie di potenze è -2, sarà l'intervallo ( aperto) ]-4,0[. La convergenza o meno per x=-4 e x=0 la lascio verificare a te.
Mi risulta che in x = -4 converge per Leibniz e in x = 0 diverge, quindi l'intervallo è [-4,0[. E' giusto affermare che c'è convergenza assoluta in ]-4,0[ e convergenza semplice in [-4,0[ ? Negli esercizi che ho di solito il prof afferma questa cosa... Mi potreste dire quale teorema afferma queta cosa? Grazie per l'attenzione!
Quoto!
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