Dubbio serie convergenza assoluta:
Salve desideravo se possibile un chiarimento riguardo la convergenza assoluta:
il criterio ci dice che se $sum |a_n|$ converge; la serie $ sum a_n$ è assolutamente convergente...
volevo porre all'attenzione un esercizio facile e pratico:
$sum_(n=1)^infty (-1)^n sen (1/n)$ ;
in questo caso come facciamo a studiare $| sen (1/n) | $ ?
tempo fa avevo un appunto su questa serie in cui c'era il confronto : $ lim_n (Sen(1/n))/ (1/n)=1$ e quindi non converge assolutamente ;
ma non so se è giusto, in tal caso...questo procedimento cosa centra con il verificare $|a_n|$ '?
io so a priori che la serie $ sum sin (1/n) $ è divergente;
ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente ?
grazie per i chiarimenti
Cordiali saluti.
il criterio ci dice che se $sum |a_n|$ converge; la serie $ sum a_n$ è assolutamente convergente...
volevo porre all'attenzione un esercizio facile e pratico:
$sum_(n=1)^infty (-1)^n sen (1/n)$ ;
in questo caso come facciamo a studiare $| sen (1/n) | $ ?
tempo fa avevo un appunto su questa serie in cui c'era il confronto : $ lim_n (Sen(1/n))/ (1/n)=1$ e quindi non converge assolutamente ;
ma non so se è giusto, in tal caso...questo procedimento cosa centra con il verificare $|a_n|$ '?
io so a priori che la serie $ sum sin (1/n) $ è divergente;
ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente ?
grazie per i chiarimenti
Cordiali saluti.
Risposte
ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di ∑(-1)n... posso dire a priori che non è assolutamente convergente ?La risposta sarebbe anche si, ma è detto veramente con i piedi, mat.
Traduco:
Proposizione Se la serie $\sum a_n$ è divergente allora la serie $\sum (-1)^n a_n$ non è assolutamente convergente.
Dimostrazione Supponiamo per assurdo che $sum (-1)^n a_n$ sia assolutamente convergente, ovvero che $\sum |a_n|$ sia convergente. Allora $sum a_n$ sarebbe assolutamente convergente, in contraddizione con l'ipotesi.
NOTA: Potrebbe comunque essere che $sum (-1)^n a_n$ è convergente, non assolutamente. Qui si può fare un esempio molto facile, ti viene in mente?
"dissonance":ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di ∑(-1)n... posso dire a priori che non è assolutamente convergente ?La risposta sarebbe anche si, ma è detto veramente con i piedi, mat.
Su questo non ci piove!
Pardon!
"dissonance":
NOTA: Potrebbe comunque essere che $sum (-1)^n a_n$ è convergente, non assolutamente. Qui si può fare un esempio molto facile, ti viene in mente?
$sum (-1)^n (2n)/(^3sqrt(n^4+1)) $
serie divergente;
il limite "dovrebbe" non sono sicuro.... far ZERO.
e quindi,Dissonance, questo esempio può andar bene ?
grazie della risp.
No no, che casino...! C'è un esempio MOLTO più semplice. Fai un esempio di serie convergente non assolutamente. Ce n'è uno veramente molto facile che conviene tenere presente.
hint: il $(-1)^n$ è ok e poi c'è una frazione facilina 
"dissonance":
No no, che casino...! C'è un esempio MOLTO più semplice. Fai un esempio di serie convergente non assolutamente. Ce n'è uno veramente molto facile che conviene tenere presente.
$sum (-1)^n (1/n) $
OK!
"dissonance":
NOTA: Potrebbe comunque essere che $sum (-1)^n a_n$ è convergente, non assolutamente. Qui si può fare un esempio molto facile, ti viene in mente?
ciao dissonance;
perdonami se ti riapro questo topic!
nella nota che avevi lasciato....
nel caso specifico delle serie a segno alterno.... quando si verifica che la serie converge ma non assolutamente ?
l'esempio che ho fatto va in contraddizione con quanto detto nei post precedenti riguardo la divergenza della serie:
"mat100":
ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente
in quanto palesemente $1/n$ è divergente ... ma come abbiamo detto in questo caso converge !
"mat100":
ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente
Matt100, ma prova a dimostrarlo...
Serve solo la definizione di assoluta convergenza, nulla più.
"gugo82":
[quote="mat100"]ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente
Matt100, ma prova a dimostrarlo...
Serve solo la definizione di assoluta convergenza, nulla più.[/quote]
si infatti lo so! mi sono spiegato male prima.
con la serie $(-1)^n 1/n$ la serie converge a $log2$ ma la serie dei valori assoluti " cioè termini tutti positivi" è la serie armonica! e quindi non converge assolutamente.
Però quando a noi compaiono Serie "algebricamente più ampie" ..... è la stessa cosa? io conosco bene la serie $1/n$ ne conosco lo sviluppo!
ma non sempre ci si presenta di fronte questa; e magari cercavo un consiglio "trucchetto" pratico su come comportarmi nei casi più generali.
cioè penso sia impensabile calcolarne i valori ogni volta ...come per il caso banale $1/n$.
ad esempio $(-1)^n sen (1/n)$ la serie non converge assolutamente per quanto detto sopra " $sen (1/n)$ è divergente........ però non conosco i valori che può assumere nello sviluppo a segno alterno.....
"mat100":
[quote="gugo82"][quote="mat100"]ma allora ogni volta che mi si pone una serie divergente inserita nel contesto di $sum(-1)^n ...$ posso dire a priori che non è assolutamente convergente
Matt100, ma prova a dimostrarlo...
Serve solo la definizione di assoluta convergenza, nulla più.[/quote]
si infatti lo so!
con la serie $(-1)^n 1/n$ la serie converge a $log2$ ma la serie dei valori assoluti " cioè termini tutti positivi" è la serie armonica! da quanto ho studiato.[/quote]
Bene, abbiamo capito che la serie armonica l'hai imparata.
Bravo.
"mat100":
Però quando a noi compaiono Serie "algebricamente più ampie" ..... è la stessa cosa? io conosco bene la serie $1/n$ ma non sempre ci si presenta di fronte questa; e magari cercavo un consiglio "ttruccgettio" pratico su come comportarmi nei casi più generali.
ad esempio $(-1)^n sen (1/n)$ la serie non converge assolutamente per quanto detto sopra........ però è convergente perchè la serie va ad $ log2$
correggimi se sbaglio...
Il risultato di convergenza [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\ \sin \frac{1}{n} =\ln 2[/tex] è (con tutta probabilità) falso (infatti è [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} =\ln 2[/tex]), ma non è questo il vero problema.
Tu hai fatto una congettura, che scritta per bene è la seguente:
"Se una serie [tex]\sum a_n[/tex] a termini positivi è divergente, allora [tex]\sum (-1)^n a_n[/tex] (se pure converge) non può convergere assolutamente".
L'enunciato comprende già tutti i casi possibili, quindi cosa c'entra il discorso sulle "serie algebricamente più ampie" (che poi non si sa bene cosa significhi)?
Dimostra la tua congettura.
Una volta fatto questo hai finito.
"gugo82":
Tu hai fatto una congettura, che scritta per bene è la seguente:
"Se una serie [tex]\sum a_n[/tex] a termini positivi è divergente, allora [tex]\sum (-1)^n a_n[/tex] (se pure converge) non può convergere assolutamente".
L'enunciato comprende già tutti i casi possibili, quindi cosa c'entra il discorso sulle "serie algebricamente più ampie" (che poi non si sa bene cosa significhi)?
Dimostra la tua congettura.
Una volta fatto questo hai finito.
significa che nel caso della serie armonica che ho studiato .... so per certo che la serie a segno alterno va al valore $log2$ ;
per altre serie.... sia per le mie carenze sia per la difficoltà non posso/so calcolare il valore "limite" se si può chiamare così della sommatoria....
quindi a parte l'esempio di $1/n$ ti volevo chiedere a te che hai tutta l'esperienza .......
il caso $1/n$ si può considerare come un caso raro ??? cioè negli esercizi, ogni volta che ho constatato che la serie è divergente ho automaticamente concluso: "la serie non converge assolutamente nè semplicemente" senza andare oltre.
ora te ,dando un occhiata e grazie alle tue conoscenze hai potuto affermare che ( con tutta probabilità) il risultato di convergenza [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\ \sin \frac{1}{n} =\ln 2[/tex] è falso;
è questo il problema... cioè saper a quale valore arrivi la sommatoria.
comunque riguardo al piccolo esercizio .... si può concludere che la serie non converge assolutamente ne semplicemente. giusto ?
grazie dei chiarimenti.
L'onniscienza (se pure esiste) è cosa divina, noi mortali non possiamo sapere tutto... Quando in matematica si afferma che una serie converge, difficilmente si riesce a dire a quanto essa converga: ciò dipende dal fatto che è molto difficile calcolare sia un'espressione in forma chiusa delle somme parziali, sia esprimere la somma di una serie in termini di funzioni elementari.
Inoltre, di solito, nei tuoi esercizi il valore numerico della somma non ha alcuna importanza; e quando ti si chiede di calcolare la somma della serie, allora devi solamente cercare di ricondurti a qualche sviluppo noto con qualche trucco.
Ad ogni modo, mat100, non ho ancora capito né quale sia il tuo dubbio, né se sai cosa vuol dire dimostrare qualcosa (giacché la tua congettura è talmente evidente che non avresti nemmeno dovuto pensarci su due volte quando ti ho chiesto una dimostrazione).
Che vuol dire "caso raro"? Spiegati meglio per favore.
Inoltre, di solito, nei tuoi esercizi il valore numerico della somma non ha alcuna importanza; e quando ti si chiede di calcolare la somma della serie, allora devi solamente cercare di ricondurti a qualche sviluppo noto con qualche trucco.
Ad ogni modo, mat100, non ho ancora capito né quale sia il tuo dubbio, né se sai cosa vuol dire dimostrare qualcosa (giacché la tua congettura è talmente evidente che non avresti nemmeno dovuto pensarci su due volte quando ti ho chiesto una dimostrazione).
Che vuol dire "caso raro"? Spiegati meglio per favore.
"gugo82":
L'onniscienza (se pure esiste) è cosa divina, noi mortali non possiamo sapere tutto... Quando in matematica si afferma che una serie converge, difficilmente si riesce a dire a quanto essa converga: ciò dipende dal fatto che è molto difficile calcolare sia un'espressione in forma chiusa delle somme parziali, sia esprimere la somma di una serie in termini di funzioni elementari.
Inoltre, di solito, nei tuoi esercizi il valore numerico della somma non ha alcuna importanza; e quando ti si chiede di calcolare la somma della serie, allora devi solamente cercare di ricondurti a qualche sviluppo noto con qualche trucco.
Ad ogni modo, mat100, non ho ancora capito né quale sia il tuo dubbio, né se sai cosa vuol dire dimostrare qualcosa (giacché la tua congettura è talmente evidente che non avresti nemmeno dovuto pensarci su due volte quando ti ho chiesto una dimostrazione).
Che vuol dire "caso raro"? Spiegati meglio per favore.
intendo $ sum (-1)^n 1/n$ converge, ma non assolutamente;
$ sum (-1)^n sin(1/n) $ non converge ne assolutamente nè normalmente...
caso raro intendo che la congettura .... che ho fatto non è verificata nel caso di $1/n$ mi sembra chiaro....
"mat100":
$ sum (-1)^n sin(1/n) $ non converge ne assolutamente nè normalmente...
Ma perchè?!?!?
Hai usato o no il criterio di Leibniz?
"mat100":
caso raro intendo che la congettura .... che ho fatto non è verificata nel caso di $1/n$ mi sembra chiaro....
Ma hai letto bene ciò che ho scritto?
"gugo82":
[quote="mat100"]$ sum (-1)^n sin(1/n) $ non converge ne assolutamente nè normalmente...
Ma perchè?!?!?
Hai usato o no il criterio di Leibniz?
"mat100":
caso raro intendo che la congettura .... che ho fatto non è verificata nel caso di $1/n$ mi sembra chiaro....
Ma hai letto bene ciò che ho scritto?[/quote]
gugo perfetto ho chiarito tutto;in poche parole non ho applicato appunto il criterio di Leibniz .... pensando solamente al criterio di convergenza assoluta, e non pensando che per queste serie in primis si deve studiare la serie appunto con leibniz.
ora mi è tutto chiaro riguardo al post precedente!
Grazie dei consigli!
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