Dubbio Serie Binomiale

[avmarshall]

salve a tutti; il mio più che un dubbio è un vero incubo perchè non ho capito come si usa questa benedetta serie binomiale in generale (e in particolare nelle integrazioni per serie). infatti, per capire, vi faccio un esempio del mio problema:
trovare la derivata quarta della seguente funzione:
$ f(x)=(1+3x^2)/(1-x)^3 $
non riesco a sviluppare questa (e molte altre) funzione in serie. come si fa?
so quale è la definizione di serie binomiale, ma in questo caso al denominatore ho -x. cosa cambia nello sviluppo? e poi ho al numeratore una quantità che è diversa da un numero, quindi non so come eliminare anche questo problema!
grazie dei chiarimenti

[ciampax]

Per prima cosa, osserva che $g(x)=1/{(1-x)^3}=D^2[1/{2(1-x)}]$. Ora, dal momento che $1/{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ segue che

$g(x)=D^2[\sum_{n=0}^\infty x^n]=D[\sum_{n=0}^\infty n x^{n-1}]=D[\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n]=\sum_{n=0}^\infty n(n+1) x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n$

e quindi

$f(x)=(1+3x^2)\cdot g(x)=(1+3x^2)\cdot\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n=$
$=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n+3x^2\cdot \sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n=$
$=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n+\sum_{n=0}^\infty 3(n+1)(n+2) x^{n+2}=$
$=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) x^n+\sum_{n=2}^\infty 3(n-1)n x^n=$
$=2+6x+\sum_{n=2}^\infty [(n+1)(n+2)+3n(n-1)] x^n$

e infine

$f(x)=2+6x+\sum_{n=2}^\infty[5n^2+2]x^n$

Ne segue che $f^{(iv)}(0)=4!\cdot a_4=24(5\cdot 16+2)=1968$.

[avmarshall]

ok grazie! ma ho fatto scelto un'altra strada. praticamente ho diviso la funzione in due pezzi:
$ f(x)=1/(1-x)^3+(3x^2)1/(1-x)^3 $
e ho calcolato lo sviluppo in serie binomiale delle due, e devo dire che non è stato difficile (ho visto un esercizio svolto). mi sono lasciato spaventare dalla scrittura della serie binomiale!
comunque tornando all'esercizio ho proceduto così:
$ 1/(1-x)^3=(1-x)^-3=sum ( ( -3 ),( n ) )(-x)^n=sum ( ( -3 ),( n ) )(-1)^nx^n $
l'altro pezzo si ottiene moltiplicando la prima per $ 3x^2 $. poi procedo normalmente trovando il termine $ a4 $ .

[ciampax]

Anche... ma quello che hai fatto tu presuppone che tu sappia come si scrive $(1+t)^\alpha$ in serie.

[avmarshall]

in che senso?

[ciampax]

Che devi sapere come si scrive la serie binomiale di $(1-x)^{-3}$ o, se preferisci, sapere come si calcola il coefficiente binomiale $-3$ su $n$. Come lo svolgo io, invece, tale calcolo viene "soppresso" dalla derivazione.