Dubbio serie
Salve a tutti! Ho un problema con la seguente serie.. $sum_{2}^{+infty}(sqrt(n+1)-sqrt(n))/(nlogn)$ non ho idea di come studiare la convergenza 
grazie in anticipo
grazie in anticipo
Risposte
O meglio, mi è venuto in mente di poter usare il criterio dell'integrale in quanto la funzione è positiva, decresce ed è infinesima per $n>=3$ poi la valuto in $2$ e vedo che globalmente converge.Ha senso come svolgimento? Esistono altri svolgimenti più comodi?
No,ho detto una cavolata... non so come fralo
il termine generale raccogliendo un $sqrtn$ diventa $(sqrtn [sqrt(1+1/n)-1])/(nlogn)$
a cosa è asintotica?
a cosa è asintotica?
è asintotico a $(sqrt(1+1/n) -1)/(n^(1/2)*logn)$ ... Ora posso usare gli sviluppi di Taylor? e scriverlo come $(1+1/(2x)-1/(n^(1/2)*logn).. e quindi diverge? 
Puoi anche moltiplicare e dividere da subito per $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ e diventa
$\frac{1}{n\log(n)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}~\frac{1}{2n^{3/2}\log(n)}$
$\frac{1}{n\log(n)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}~\frac{1}{2n^{3/2}\log(n)}$
"Appinmate":
è asintotico a $(sqrt(1+1/n) -1)/(n^(1/2)*logn)$ ... Ora posso usare gli sviluppi di Taylor? e scriverlo come $(1+1/(2x)-1/(n^(1/2)*logn)$.. e quindi diverge?
un po' di imprecisioni:
1. il termine non è asintotico a $(sqrt(1+1/n) -1)/(n^(1/2)*logn)$, vale proprio quello ma scritto diversamente
2. fai a meno di usare Taylor (che comunque è giusto, ma occhio agli o-piccoli) perchè quello è proprio il limite notevole
3. in pratica arrivi ad avere che $(sqrt(1+1/n) -1)/(n^(1/2)*logn) ~~ 1/(2n^(3/2)logn)$ che quindi risulta convergente per criterio del confronto asintotico
Ciao Appinmate,
Senza neanche usare le stime asintotiche, facendo uso della moltiplicazione già suggerita da dan95, si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}(sqrt(n+1)-sqrt(n))/(nlogn) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/((sqrt(n+1)+sqrt(n))nlogn) \le \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(2sqrt(n) nlogn) = 1/2 \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{3/2} logn) $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata del secondo tipo $ \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} log^{\beta}n) $ con $\alpha = 3/2 > 1 $ che è convergente $\AA \beta \in \RR $
Senza neanche usare le stime asintotiche, facendo uso della moltiplicazione già suggerita da dan95, si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}(sqrt(n+1)-sqrt(n))/(nlogn) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/((sqrt(n+1)+sqrt(n))nlogn) \le \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(2sqrt(n) nlogn) = 1/2 \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{3/2} logn) $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata del secondo tipo $ \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} log^{\beta}n) $ con $\alpha = 3/2 > 1 $ che è convergente $\AA \beta \in \RR $
Perfetto, grazie mille.
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