Dubbio serie

[VALE014]

Buonasera devo calcolare questa serie ma mi sono bloccata o meglio dovo che ho calcolato il limite che risulta essere zero, volevo applicare il criterio del confronto ma non so come applicarlo. In quanto non ho capito come vedere la x che è il mio parametro. \( $sum_{n = 1}^{+\infty} (sen(2n-1)x)/(2n-1)^2$ \).
Ora il confronto lo devo applicare solo alla n?? Grazie in anticipo

[Weierstress]

$x$ è un numero reale fissato. La serie varia con $n$, i vari criteri si usano esattamente come al solito.

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

La serie proposta

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (sin(2n-1)x)/(2n-1)^2 $

$ sum_{n = 1}^{+\infty} (sin(2n-1)x)/(2n-1)^2 $

non è a termini positivi perché in generale $ - 1 \le sin(2n-1)x \le 1 $, per cui va considerata la serie assoluta e si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} |sin(2n-1)x|/(2n-1)^2 \le sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2n-1)^2 = frac{\pi^2}{8} $

Quindi...

[VALE014]

Uso Leibniz?

[pilloeffe]

In merito alle serie, che cosa dice quel famoso teorema sulla convergenza assoluta e su quella semplice ?

[VALE014]

Che se la seria assoluta converge allora converge anche quella semplice

[pilloeffe]

Esatto

Mentre, come saprai, non vale il viceversa, cioè se una serie converge semplicemente non è detto che converga assolutamente. Controesempio classico:

$sum_{n = 1}^{+infty} (-1)^n 1/n = - ln(2) = ln(1/2) $

mentre

$sum_{n = 1}^{+infty} |(-1)^n 1/n | = sum_{n = 1}^{+infty} 1/n $

e l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente.