Dubbio senx e cosx in campo complesso

[carminebattinelli]

Ho dei dubbi riguardanti cosx e senx in campo complesso.
Mi è capitato di vedere in alcuni esercizi svolti che ad esempio il $ sin alpha = (e^(jalpha )-e^(-jalpha ))/(2j) $
e ci siamo..
Ma non capisco quando si approssima direttamente ad esempio discutendo la parte reale diventa $ cos alpha = e^(jalpha ) $
Che ragionamento c'è dietro?
Grazie per eventuali risposte

[dissonance]

No, non è che $\cos \alpha = e^{j\alpha}$. Invece è vero che \(\cos \alpha = \Re\left( e^{j\alpha}\right)\), dove quella R tutta brutta indica "parte reale".

La formula "vera", che conviene ricordarsi, è quella di Eulero:
\[
e^{j\alpha} = \cos \alpha + j\sin \alpha.\]
Questa formula è una trovata geniale perché contiene in una notazione comodissima tutte le formule trigonometriche, che come sai sono un gran casino. Per esempio, le formule di duplicazione sono contenute qui:
\[
\cos(2\alpha)+j\sin(2\alpha)=e^{j2\alpha}=\left(e^{j\alpha}\right)^2=\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + j(2\cos\alpha \sin\alpha).\]
Basta uguagliare parte reale e parte immaginaria. Sviluppando invece \(e^{j(\alpha+\beta)}\) alla stessa maniera trovi le formule di addizione. E così via.

[carminebattinelli]

Quindi qualora mi servisse sapere $ cosalpha $ pongo solamente R = $ e^(jalpha ) $
e se mi serve $ sin alpha rArr Im e^(jalpha ) $

[dissonance]

???

Credo di avere già risposto nel post precedente.

[carminebattinelli]

Grazie