Dubbio risoluzione Serie
Ciao a tutti.
Girando per la rete ho trovato quest'esercizio di cui però non riesco a venirne a capo (Non conosco la soluzione).
In particolare bisogna studiare il carattere di questa serie:
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-sen(3/n)) - 1)(e^(1/n)-1) $
Per risolverlo penso che bisogna ricorrere ai limiti notevoli, sapendo che
$ sen(3/n) ~~ 3/n$ e $(e^(1/n)-1) ~~ 1/n $
Per cui la serie di partenza diventa
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) $
Da questo punto in poi ho pensato a due possibili soluzioni.
La prima consiste nel considerare la serie così ottenuta e di applicare il criterio del confronto asintotico con $1/n$ oppure con $1/(n^2)$, ma non ottengo niente di che;
La seconda soluzione invece consiste prima nel maggiorare la serie, e poi di studiare la serie maggiorata per verificare se converge.
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) <= \sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n))(1/n)$
Anche qui, applicando il metodo precedentemente descritto, non ottengo alcun risultato tangibile.
Qualcuno di buona volontà potrebbe darmi una mano per capire come risolvere questa serie??
Vi ringrazio infinitamente
Girando per la rete ho trovato quest'esercizio di cui però non riesco a venirne a capo (Non conosco la soluzione).
In particolare bisogna studiare il carattere di questa serie:
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-sen(3/n)) - 1)(e^(1/n)-1) $
Per risolverlo penso che bisogna ricorrere ai limiti notevoli, sapendo che
$ sen(3/n) ~~ 3/n$ e $(e^(1/n)-1) ~~ 1/n $
Per cui la serie di partenza diventa
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) $
Da questo punto in poi ho pensato a due possibili soluzioni.
La prima consiste nel considerare la serie così ottenuta e di applicare il criterio del confronto asintotico con $1/n$ oppure con $1/(n^2)$, ma non ottengo niente di che;
La seconda soluzione invece consiste prima nel maggiorare la serie, e poi di studiare la serie maggiorata per verificare se converge.
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) <= \sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n))(1/n)$
Anche qui, applicando il metodo precedentemente descritto, non ottengo alcun risultato tangibile.
Qualcuno di buona volontà potrebbe darmi una mano per capire come risolvere questa serie??
Vi ringrazio infinitamente
Risposte
Nessuno capace di risolvere i miei dubbi?? 
Comunque ho pensato ad una terza soluzione:
Poichè $ - 1 <= sen(3/n) <= 1 $ Allora si potrebbe minorare la serie con $ - 1$ al posto di $sen(3/n)$, ottenendo
$\sum_{n=1}^infty (sqrt(2) - 1)1/n$ ossia una serie divergente.
Poichè la serie minore diverge allora anche quella di partenza deve divergere!
Attendo comunque qualcuno che confermi o ritratti le mie affermazioni.
Comunque ho pensato ad una terza soluzione:
Poichè $ - 1 <= sen(3/n) <= 1 $ Allora si potrebbe minorare la serie con $ - 1$ al posto di $sen(3/n)$, ottenendo
$\sum_{n=1}^infty (sqrt(2) - 1)1/n$ ossia una serie divergente.
Poichè la serie minore diverge allora anche quella di partenza deve divergere!
Attendo comunque qualcuno che confermi o ritratti le mie affermazioni.
mmmh... io applicherei i limiti notevoli... moltiplicherei e dividerei il seno per $3/n$ e moltiplicherei e dividerei $e^1/n$ per $n$...
così avrei
$lim_(x->oo) (sqrt(1- (sen(3/n))/(3/n))( n/3)) - 1) (1/n(e^1/n - 1)/(1/n)= lim_(x->oo) (sqrt(1-n/3) - 1)(1/n) = lim_(x->oo) (sqrt(3-n)/3-1)(1/n))$ applicando il criterio degli infinitesimi con $n^(1/2)$ quindi con p<1 $l=1/3 != 0$ la serie diverge
così avrei
$lim_(x->oo) (sqrt(1- (sen(3/n))/(3/n))( n/3)) - 1) (1/n(e^1/n - 1)/(1/n)= lim_(x->oo) (sqrt(1-n/3) - 1)(1/n) = lim_(x->oo) (sqrt(3-n)/3-1)(1/n))$ applicando il criterio degli infinitesimi con $n^(1/2)$ quindi con p<1 $l=1/3 != 0$ la serie diverge
Grazie per la risposta
Comunque non trovo riscontro con il risultato:
Se si applica il criterio del confronto con $ 1/n^2 $ (e non quello degli infinitesimi perchè, per come hai scritto tu la serie, ottieni una forma indetereminata $infty/infty$) otteniamo
$\lim_{n \to \infty} n^2(sqrt(1-n/3))*(1/n)$, cioè $\lim_{n \to \infty} nsqrt(1-n/3)$ ottenendo $infty*(-infty)$, ma non va bene perchè la serie campione converge (il risultato del limite doveva essere $ l in [0,+infty)$)
Se invece si confronta con $1/n$ otteniamo
$\lim_{n \to \infty} sqrt(1-n/3) = -infty$ e non va bene perchè il limite è negativo (deve essere positivo)
Confermi il mio ragionamento?
Comunque non trovo riscontro con il risultato:
Se si applica il criterio del confronto con $ 1/n^2 $ (e non quello degli infinitesimi perchè, per come hai scritto tu la serie, ottieni una forma indetereminata $infty/infty$) otteniamo
$\lim_{n \to \infty} n^2(sqrt(1-n/3))*(1/n)$, cioè $\lim_{n \to \infty} nsqrt(1-n/3)$ ottenendo $infty*(-infty)$, ma non va bene perchè la serie campione converge (il risultato del limite doveva essere $ l in [0,+infty)$)
Se invece si confronta con $1/n$ otteniamo
$\lim_{n \to \infty} sqrt(1-n/3) = -infty$ e non va bene perchè il limite è negativo (deve essere positivo)
Confermi il mio ragionamento?
Più facilmente, per $x ->0$, $sqrt{1+x} approx 1+1/2x$. Allora
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-sen(3/n)) - 1)(e^(1/n)-1) approx \sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) approx \sum_{n=0}^infty (1-3/2n - 1)(1/n)$
Ovvero.. $ -3/2sum_n 1/(n^2)$ il cui carattere è lapalissiano
$\sum_{n=0}^infty (sqrt(1-sen(3/n)) - 1)(e^(1/n)-1) approx \sum_{n=0}^infty (sqrt(1-3/n) - 1)(1/n) approx \sum_{n=0}^infty (1-3/2n - 1)(1/n)$
Ovvero.. $ -3/2sum_n 1/(n^2)$ il cui carattere è lapalissiano
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