Dubbio risoluzione limite
Buonasera a tutti, sto cercando di risolvere questo limite (che ha soluzione $ -1/2 $), ma non mi ci trovo
$ lim n->0 (e^(1-cos(n))-(1/(1-n^2)))/(log(1+sin(n)))^2 $
Non so come procedere al numeratore, non potendo applicare nessun limite notevole in quanto non ho $ e^(qualcosa) -1 $. Al denominatore invece svolgendo mi ritrovo sempre con uno $ 0 $. Chiedo aiuto a voi :S
$ lim n->0 (e^(1-cos(n))-(1/(1-n^2)))/(log(1+sin(n)))^2 $
Non so come procedere al numeratore, non potendo applicare nessun limite notevole in quanto non ho $ e^(qualcosa) -1 $. Al denominatore invece svolgendo mi ritrovo sempre con uno $ 0 $. Chiedo aiuto a voi :S
Risposte
\[\lim_{n\to0}\frac{e^{1-\cos{n}}-\frac{1}{1-n^2}}{\ln^2{(1+\sin{n})}}=\lim_{n\to0}\frac{e^{1-\cos{n}}-1+1-\frac{1}{1-n^2}}{\ln^2{(1+\sin{n})}}=\lim_{n\to0}\frac{\frac{e^{1-\cos{n}}-1}{1-\cos{n}}\frac{1-\cos{n}}{n^2}\frac{n^2}{\sin^2{n}}+\frac{n^2}{(n^2-1)\sin^2{n}}}{\left(\frac{\ln{(1+\sin{n})}}{\sin{n}}\right)^2}=-\frac{1}{2}\]
"seb":
\[\lim_{n\to0}\frac{e^{1-\cos{n}}-\frac{1}{1-n^2}}{\ln^2{(1+\sin{n})}}=\lim_{n\to0}\frac{e^{1-\cos{n}}-1+1-\frac{1}{1-n^2}}{\ln^2{(1+\sin{n})}}=\lim_{n\to0}\frac{\frac{e^{1-\cos{n}}-1}{1-\cos{n}}\frac{1-\cos{n}}{n^2}\frac{n^2}{\sin^2{n}}+\frac{n^2}{(n^2-1)\sin^2{n}}}{\left(\frac{\ln^2{(1+\sin{n})}}{\sin{n}}\right)^2}=-\frac{1}{2}\]
Mi sono perso al denominatore, visto che scompare il quadrato e dopo riappare e non capisco come. Grazie comunque!
Edit: Sotto quando dividi per $ sin(n) $ alla fine per applicare il limite notevole, non si dovrebbe anche moltiplicare per quel valore? E quindi in questo modo sotto ottengo -2?
Avevo riportato un quadrato di troppo al logaritmo: intendi questo con "scompare il quadrato e dopo riappare"?
"batu95":Non ho capito. Ho diviso a denominatore e a numeratore per \(\sin^2{n}\).
Sotto quando dividi per $ sin(n) $ alla fine per applicare il limite notevole, non si dovrebbe anche moltiplicare per quel valore? E quindi in questo modo sotto ottengo -2?
"seb":Non ho capito. Ho diviso a denominatore e a numeratore per \(\sin^2{n}\).[/quote]
Avevo riportato un quadrato di troppo al logaritmo: intendi questo con "scompare il quadrato e dopo riappare"?
[quote="batu95"]Sotto quando dividi per $ sin(n) $ alla fine per applicare il limite notevole, non si dovrebbe anche moltiplicare per quel valore? E quindi in questo modo sotto ottengo -2?
No niente, grazie mille! Mi perdevo con la divisione finale che non riuscivo a vedere, anche visto che mi ero dimenticato proprio che dividendo per la stessa quantità numeratore e denominatore il risultato non cambia, io applicavo solamente la frazione. Grazie!
"seb":Non ho capito. Ho diviso a denominatore e a numeratore per \(\sin^2{n}\).[/quote]
Avevo riportato un quadrato di troppo al logaritmo: intendi questo con "scompare il quadrato e dopo riappare"?
[quote="batu95"]Sotto quando dividi per $ sin(n) $ alla fine per applicare il limite notevole, non si dovrebbe anche moltiplicare per quel valore? E quindi in questo modo sotto ottengo -2?
No anzi, scusami una cosa!
All'ultimo termine del numeratore, l'ultima frazione, come mai son presenti solamente $ n^2 $ e $ sin^2(x) $ ? Non dovrebbero andare via con le semplificazioni come gli altri?
Edit: ho capito anche questo, niente! Però un'altra cosa, quando dividi per $ sin^2(x) $ al numeratore, non dovrebbero essere divisi anche tutti gli altri termini e non solo $ x^2 $ e dopo l'ultima frazione?
"batu95":Tutti gli addendi a numeratore sono divisi per \(\sin^2{n}\).
quando dividi per $ sin^2(x) $ al numeratore, non dovrebbero essere divisi anche tutti gli altri termini e non solo $ x^2 $ e dopo l'ultima frazione?
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