Dubbio risoluzione integrali
ciao a tutti, il miglior modo per risolvere questo genere di integrali è "per parti"?
$int ln((x+2)^3/(x(x+3)^2))$
o
$int arctg(sqrt((x+1)/(2-x)))$
$int ln((x+2)^3/(x(x+3)^2))$
o
$int arctg(sqrt((x+1)/(2-x)))$
Risposte
io opterei a svolgere i seguenti integrali utilizzando il metodo per parti, probabilmente è molto lungo il procedimento di calcolo, comunque essendo:
$\int a(x)b'(x)dx=a(x)b(x)-\int a'(x)b(x)dx$ e sceglierei come $a(x)=ln((x+2)^3/(x(x+3)^2))$ in modo da derivare questa funzione per ottenere $a'(x)$ e $b'(x)=1$ in modo da poterlo integrare il più facilmente possibile.
per il secondo invece farei come sopra, utilizzare la funzione arcotangente come $a(x)$ e $b'(x)=1$
volendo potresti effettuare la divisione fra polinomi e vedere se puoi ridurla.
$P(x)=Q(x)D(x)+R(x)$
$\int a(x)b'(x)dx=a(x)b(x)-\int a'(x)b(x)dx$ e sceglierei come $a(x)=ln((x+2)^3/(x(x+3)^2))$ in modo da derivare questa funzione per ottenere $a'(x)$ e $b'(x)=1$ in modo da poterlo integrare il più facilmente possibile.
per il secondo invece farei come sopra, utilizzare la funzione arcotangente come $a(x)$ e $b'(x)=1$
volendo potresti effettuare la divisione fra polinomi e vedere se puoi ridurla.
$P(x)=Q(x)D(x)+R(x)$
Certo che per complicarvi la vita siete bravi
Se il log lo scomponete vi risparmiate un po di mal di testa
$3log (x+2)-logx -2 log(x+3) $
Poi per parti....come di consueto. ...
o no?
$3log (x+2)-logx -2 log(x+3) $
Poi per parti....come di consueto. ...
o no?
Ammesso che l'integrale sia in $ dx $.... dato che non è scritto. ..
vediamo invece come risolvere $intarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))dx$ che è fattibile con tecniche "da liceo" ma un po' articolato
ovviamente per parti:
$xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))-intxd/(dx)arctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))dx=...=xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))+int(-x)/(2sqrt(-x^2+x+2))dx=xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))+ I_(1)$
$I_(1)=int(-x)/(2sqrt(-x^2+x+2))dx=1/4int(-2x+1-1)/sqrt(-x^2+x+2)dx=1/4int(-2x+1)/sqrt(-x^2+x+2)dx-1/4int1/sqrt(-x^2+x+2)dx$
$I_(1)=1/2sqrt(-x^2+x+2)-1/4int1/sqrt(-x^2+x+2)dx=sqrt(-x^2+x+2)/2-1/4I_(2)$
$I_(2)=int1/sqrt(-x^2+x+2)dx=int2/sqrt(-4x^2+4x+8+1-1)dx=int2/sqrt(9-(4x^2-4x+1))dx=int2/(sqrt(9-(2x-1)^2))dx$
$I_(2)=2/3int1/(sqrt(1-((2x-1)/3)^2))dx=int1/(sqrt(1-((2x-1)/3)^2))d((2x-1)/3)=arcsen((2x-1)/3)+c$
ovviamente per parti:
$xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))-intxd/(dx)arctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))dx=...=xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))+int(-x)/(2sqrt(-x^2+x+2))dx=xarctan(sqrt(x+1)/sqrt(2-x))+ I_(1)$
$I_(1)=int(-x)/(2sqrt(-x^2+x+2))dx=1/4int(-2x+1-1)/sqrt(-x^2+x+2)dx=1/4int(-2x+1)/sqrt(-x^2+x+2)dx-1/4int1/sqrt(-x^2+x+2)dx$
$I_(1)=1/2sqrt(-x^2+x+2)-1/4int1/sqrt(-x^2+x+2)dx=sqrt(-x^2+x+2)/2-1/4I_(2)$
$I_(2)=int1/sqrt(-x^2+x+2)dx=int2/sqrt(-4x^2+4x+8+1-1)dx=int2/sqrt(9-(4x^2-4x+1))dx=int2/(sqrt(9-(2x-1)^2))dx$
$I_(2)=2/3int1/(sqrt(1-((2x-1)/3)^2))dx=int1/(sqrt(1-((2x-1)/3)^2))d((2x-1)/3)=arcsen((2x-1)/3)+c$
quindi riassemblando tutti i pezzi otteniamo:
$intarctansqrt((x+1)/(2-x))dx=x arctansqrt((x+1)/(2-x))+sqrt((x+1)(2-x))/2-1/4arcsen((2x-1)/3)+C$
..ho evitato appositamente di utilizzare sostituzioni trigonometriche risolvendo il tutto con piccoli accorgimenti algebrici
spero che sia chiaro....e soprattutto spero di non aver tralasciato qualche costante qua e là.....dato che l'ho fatto in fretta...
$intarctansqrt((x+1)/(2-x))dx=x arctansqrt((x+1)/(2-x))+sqrt((x+1)(2-x))/2-1/4arcsen((2x-1)/3)+C$
..ho evitato appositamente di utilizzare sostituzioni trigonometriche risolvendo il tutto con piccoli accorgimenti algebrici
spero che sia chiaro....e soprattutto spero di non aver tralasciato qualche costante qua e là.....dato che l'ho fatto in fretta...
grazie tommik sempre gentilissimo! 
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