Dubbio riguardo lo studio del carattere di una serie numerica
Ciao! Devo studiare il carattere della seguente serie
$\sum_{n=1}^infty [(-1)^n/3^(n+2)-n(1-cos(1/n))]$
Purtroppo non riesco a capire come procedere quando ho delle serie di questo tipo (una differenza tra un termine e un seno/coseno/log ecc...).
Avete qualche consiglio su come procedere in questi casi??
Si può spezzare la serie in
$\sum_{n=1}^infty [(-1)^n/3^(n+2)] + \sum_{n=1}^infty [-n(1-cos(1/n))]$ ? Oppure è possibile soltanto quando ho una somma ??
Vi ringrazio
$\sum_{n=1}^infty [(-1)^n/3^(n+2)-n(1-cos(1/n))]$
Purtroppo non riesco a capire come procedere quando ho delle serie di questo tipo (una differenza tra un termine e un seno/coseno/log ecc...).
Avete qualche consiglio su come procedere in questi casi??
Si può spezzare la serie in
$\sum_{n=1}^infty [(-1)^n/3^(n+2)] + \sum_{n=1}^infty [-n(1-cos(1/n))]$ ? Oppure è possibile soltanto quando ho una somma ??
Vi ringrazio
Risposte
Ciao kevin_ferl,
Sì, il problema è che la prima serie si può facilmente ricondurre ad una serie geometrica di ragione $- 1/3 $ convergente a $- 1/36 $, mentre la serie $ \sum_{n=1}^{+\infty} n[1-cos(1/n)] $ si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. Pertanto la serie proposta è negativamente divergente.
"kevin_ferl":
Si può spezzare la serie [...]
Sì, il problema è che la prima serie si può facilmente ricondurre ad una serie geometrica di ragione $- 1/3 $ convergente a $- 1/36 $, mentre la serie $ \sum_{n=1}^{+\infty} n[1-cos(1/n)] $ si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. Pertanto la serie proposta è negativamente divergente.
Ti ringrazio per la risposta. Quindi posso applicare lo stesso metodo (spezzare la serie) alla serie:
$\sum_{n=1}^infty [sin(1/n)-1/(nroot(5)n)]$ ??
Però perché nella seguente serie c'è questo problema?
$\sum_{n=1}^infty [1/n-sin(1/n)]$
se la spezzo trovo che $\sum_{n=1}^infty sin(1/n)$ diverge e $\sum_{n=1}^infty 1/n$ diverge però il risultato dell'esercizio dà che la serie è convergente
$\sum_{n=1}^infty [sin(1/n)-1/(nroot(5)n)]$ ??
Però perché nella seguente serie c'è questo problema?
$\sum_{n=1}^infty [1/n-sin(1/n)]$
se la spezzo trovo che $\sum_{n=1}^infty sin(1/n)$ diverge e $\sum_{n=1}^infty 1/n$ diverge però il risultato dell'esercizio dà che la serie è convergente
"kevin_ferl":
se la spezzo trovo che $\sum_{n=1}^infty sin(1/n)$ diverge e $\sum_{n=1}^infty 1/n$ diverge però il risultato dell'esercizio dà che la serie è convergente
Perché non puoi farlo: puoi spezzare delle serie solo se non si presentano forme indeterminate. Ricorda che le serie sono limiti, e i teoremi algebrici sui limiti non valgono con forme indeterminate di mezzo.
Dato che le serie $\sum \frac{1}{n}$ che $\sum \sin \frac{1}{n}$ divergono entrambe, hai $\infty- \infty$ e quindi il teorema "limite della somma è somma dei limiti" non vale.
Ok perfetto. Gentilissimo, grazie mille!!! 
Prego! Comunque, hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor e il criterio del confronto asintotico? Usando questi, questo tipo di serie sono abbordabili. Per la prima che hai proposto bastano i limiti notevoli, tuttavia per quella con termine generico $\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}$ non bastano.
Si ho risolto così, grazie.
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