Dubbio radice cubica di un numero complesso
Ho bisogno di un aiuto riguardo il seguente esercizio e vi ringrazio in anticipo:
Devo trovare le 3 radici complesse di $(-i)^(1/3)$
essendo w=-i ho che
$\rho=1$, e l'anomalia $\theta=3/2 \pi$ se ragiono tra $[0,2\pi)$ o $\theta=-\pi/2$ se ragiono tra $(-\pi,\pi]$
e ora l'empasse:
sfruttando il fatto che la rdice n-esima di un complesso è data da
$\rho^(1/n) (cos((\theta+2k\pi)/n)+i sin((\theta+2k\pi)/n))$
ovviamente se
-vado a sostituire $-\pi/2$ otterrei come prima radice (k=0) $e^(-pi/6)$
-vado a sostituire $3/2 \pi$ otterrei come prima radice $e^(pi/2)$
Ma son de numeri ben diversi, perché ovviamente sto dividento due angoli diversi per uno stesso valore, però la soluzione di una radice dovrebbe dare risultati coerenti..
Non capisco quindi quale delle due sia corretta, e soprattutto PERCHE' debba scegliere una anziché l'altra dato che il ragionamento mi pare valido in entrambi i casi: 3/2 pi greco è validssimo come angolo!
Devo trovare le 3 radici complesse di $(-i)^(1/3)$
essendo w=-i ho che
$\rho=1$, e l'anomalia $\theta=3/2 \pi$ se ragiono tra $[0,2\pi)$ o $\theta=-\pi/2$ se ragiono tra $(-\pi,\pi]$
e ora l'empasse:
sfruttando il fatto che la rdice n-esima di un complesso è data da
$\rho^(1/n) (cos((\theta+2k\pi)/n)+i sin((\theta+2k\pi)/n))$
ovviamente se
-vado a sostituire $-\pi/2$ otterrei come prima radice (k=0) $e^(-pi/6)$
-vado a sostituire $3/2 \pi$ otterrei come prima radice $e^(pi/2)$
Ma son de numeri ben diversi, perché ovviamente sto dividento due angoli diversi per uno stesso valore, però la soluzione di una radice dovrebbe dare risultati coerenti..
Non capisco quindi quale delle due sia corretta, e soprattutto PERCHE' debba scegliere una anziché l'altra dato che il ragionamento mi pare valido in entrambi i casi: 3/2 pi greco è validssimo come angolo!
Risposte
Prova a trovarle tutt'e tre le radici cubiche, in entrambi i modi, e poi confrontale.
Ciao gueridon,
Ma perché complicarsi l'esistenza?
In pratica devi trovare le soluzioni dell'equazione seguente:
$z^3 + i = 0 \implies z^3 - i^3 = 0 \implies (z - i)(z^2 + iz - 1) = 0 $
Annullando il primo fattore trovi subito $ z_1 = i = e^{i frac{\pi}{2}} = cos(frac{\pi}{2}) + i sin(frac{\pi}{2}) $;
per trovare le altre due soluzioni basta risolvere la semplice equazione di secondo grado $z^2 + iz - 1 = 0 $, le cui soluzioni sono $z_{2,3} = frac{-i \pm sqrt{3}}{2} $
Quindi in definitiva le tre soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$ z_1 = i = e^{i frac{\pi}{2}} = cos(frac{\pi}{2}) + i sin(frac{\pi}{2}) $
$ z_2 = frac{sqrt{3} - i}{2} = e^{i frac{11\pi}{6}} = cos(frac{11\pi}{6}) + i sin(frac{11\pi}{6}) $
$ z_3 = frac{- sqrt{3} - i}{2} = e^{i frac{7\pi}{6}} = cos(frac{7\pi}{6}) + i sin(frac{7\pi}{6}) $
Ma perché complicarsi l'esistenza?
In pratica devi trovare le soluzioni dell'equazione seguente:
$z^3 + i = 0 \implies z^3 - i^3 = 0 \implies (z - i)(z^2 + iz - 1) = 0 $
Annullando il primo fattore trovi subito $ z_1 = i = e^{i frac{\pi}{2}} = cos(frac{\pi}{2}) + i sin(frac{\pi}{2}) $;
per trovare le altre due soluzioni basta risolvere la semplice equazione di secondo grado $z^2 + iz - 1 = 0 $, le cui soluzioni sono $z_{2,3} = frac{-i \pm sqrt{3}}{2} $
Quindi in definitiva le tre soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$ z_1 = i = e^{i frac{\pi}{2}} = cos(frac{\pi}{2}) + i sin(frac{\pi}{2}) $
$ z_2 = frac{sqrt{3} - i}{2} = e^{i frac{11\pi}{6}} = cos(frac{11\pi}{6}) + i sin(frac{11\pi}{6}) $
$ z_3 = frac{- sqrt{3} - i}{2} = e^{i frac{7\pi}{6}} = cos(frac{7\pi}{6}) + i sin(frac{7\pi}{6}) $
"Palliit":
Prova a trovarle tutt'e tre le radici cubiche, in entrambi i modi, e poi confrontale.
In effetti mi sono fermato alla prima vedendo non coincideva. Mi stai suggerendo che probabilmente esce da una delle altre due
Non ci ero arrivato, grazie!
"pilloeffe":
Ciao gueridon,
Ma perché complicarsi l'esistenza?
Ecco, non ci avevo pensato, grazie anche a te
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