Dubbio punti di minimo e massimo di una funzione integrabile

[fabiolmessi]

f ∈ Integrabile[a,b] =⇒ f ha minimo e massimo assoluti in [a,b].quale potrebbe essere un controesempio valido? ad esempio f(x)=|x| in R che non ha punti di massimo oppure f(x)=|x| in (1,2) che non ha punti di minimo e di massimo, giusto??

[Frink1]

No e no.
Nel primo esempio prendi in considerazione $\mathbb{R}$ ma non puoi, ti dice che è integrabile solo su un intervallo chiuso e limitato di $\mathbb{R}$. Il secondo non è chiuso e limitato, e se consideri la stessa funzione sulla chiusura $[1,2]$ il massimo e il minimo ci sono, e sono agli estremi dell'intervallo.
Integrabile si intende secondo Riemann, suppongo. Prova a ragionare sulla caratterizzazione dell'integrale di Riemann tramite somme superiori e somme inferiori.

[fabiolmessi]

ok grazie.. va bene f(x)=|x| in [-2,2] che ha un minimo assoluto e due massimi relativi oppure la funzione costante in un intervallo [a,b] che è integrabile ma non ha ne massimo ne minimo?

[Frink1]

No e no di nuovo.
La prima ha sia massimo che minimo assoluti, solo che non sono unici (non è richiesta l'unicità nella domanda).
La seconda ha massimo assoluto uguale a minimo assoluto, anche qui non c'è l'unicità ma non è richiesta.

[gennarosdc]

ma la proposizione risulta vera? perchè non riesco a trovare controesempi validi..