Dubbio punti critici funzione due variabili:

[ZeTaMaster]

Buonasera a tutti:
Ho tale funzione: $(1/3)x^6-(1/4)y^4$
Il punto stazionario è $A(0,0)$ e con la matrice Hessiana mi trovo determinante nullo. Quindi studio la funzione:
$(1/3)x^6-(1/4)y^4>=0$ , ma non so come gestirla, mi date un input?

[ZeTaMaster]

Quindi dovrei studiare la funzione per x=0 e poi per y=0?

[ZeTaMaster]

Ma in $t^6/6$ mi trovo che c'è un massimo, ma in $-t^4/4$ non mi trovo in quanto non è mai verificato che$ t^4<=0 $, dove sbaglio?

[ZeTaMaster]

Non c'è un altro metodo per dimostrare che è un punto di sella? perchè questo non l'ho capito tanto...

[iH8u]

"ZeTaMaster":Non c'è un altro metodo per dimostrare che è un punto di sella? perchè questo non l'ho capito tanto...

Quando si trova di fronte ad un Hessiano nullo non si possono adoperare delle tecniche 'meccaniche'.

Nel tuo caso è abbastanza immediato riconoscere che si tratta di un punto di sella.

Hai una funzione composta da due termini pari, di segno opposto. Restringendo prima la funzione a (x,0) e poi a (0,y), e se ottenendo due valori di segno opposto, uno massimo (che per definizione chiamiamo massimo, quando esiste $ EEdelta>0:AAx in domfnn I_delta(c)$, si ha $f(x)<=f(c) $) ed un minimo ($ EEdelta>0:AAx in domfnn I_delta(c)$, si ha $f(x)>=f(c) $), allora è evidente punto di sella. In altre parole, la funzione nell'intorno del punto critico cambia di segno.

[ZeTaMaster]

Diciamo che la definizione l'ho capita! Il problema è che nella restrizione$( 0,t)$ avendo $-t^4/4>=0$ avrei come unica soluzione t=0 ! e questo mi mandava in confusione