Dubbio Punti critici di questa funzione.
Buon pomeriggio a tutti,
Mi sono imbattuta in un esercizio che chiede di studiare i punti critici della seguente funzione:
$f(x,y)=x^2*(y+1)$
ho fatto le derivate di f rispetto ad x ed y e mi trovo:
$f_x= 2x*(y+1)=0$
$f_y=x^2=0$
svolgendo la seconda: $x^2=0 =>x=0$
il mio dubbio sorge quando vado a sostituire$x=0$ in $f_x$ : Perchè il punto non è $(0,0)$ ma mi viene indicato $(0,y)$ ?
Infatti rivedendo il resto dell'esercizio l'Hessiano risulta nullo per $x=0$ e prosegue calcolandosi :
$\Delta$$f(x,y)-f(0,y)=x^2(y+1)>=0$
Perchè appunto $(0,y)$ e non $(0,0)$ ? Cosa sbaglio nel sistema?
Grazie a tutti per la collaborazione
P.
Mi sono imbattuta in un esercizio che chiede di studiare i punti critici della seguente funzione:
$f(x,y)=x^2*(y+1)$
ho fatto le derivate di f rispetto ad x ed y e mi trovo:
$f_x= 2x*(y+1)=0$
$f_y=x^2=0$
svolgendo la seconda: $x^2=0 =>x=0$
il mio dubbio sorge quando vado a sostituire$x=0$ in $f_x$ : Perchè il punto non è $(0,0)$ ma mi viene indicato $(0,y)$ ?
Infatti rivedendo il resto dell'esercizio l'Hessiano risulta nullo per $x=0$ e prosegue calcolandosi :
$\Delta$$f(x,y)-f(0,y)=x^2(y+1)>=0$
Perchè appunto $(0,y)$ e non $(0,0)$ ? Cosa sbaglio nel sistema?
Grazie a tutti per la collaborazione
P.
Risposte
Perchè il tuo Hessiano è nullo in ogni punto della forma $(0, y)$ e non solo in $(0,0)$, in quanto per annullare entrambe le derivate parziali è sufficiente (e necessario) soltanto che $x = 0$ quindi $y$ è libero di variare dove vuole...
Ok ti ringrazio. ora provo anche con qualche altro esercizio per fissare meglio le idee.
Ancora grazie
Ancora grazie
Figurati... probabilmente hai solo fatto qualche errore di calcolo risolvendo il sistema (prova a guardarlo con calma 
)
)
Chiedo scusa,
ammetto di avere qualche limite nello svolgere questa tipologia di esercizio.
Ho questa funzione:
$f(x,y)=x^2y^2+x^3-3x^2$
faccio le derivate parziali:
$f_x=2xy^2 + 3x^2 -6x=0$
$f_y=2x^2y=0$
Opero secondo lo stesso ragionamento di prima?
svolgo $f_y$ e mi trovo $y=0$
sostituisco poi in $f_x$ e ottengo $(x,0)$ ??
.. che però mi sembra strano, perchè se faccio la sostituzione con $y=0$ in $f_x$, non mi rimane $3x^2-6x$?
ammetto di avere qualche limite nello svolgere questa tipologia di esercizio.
Ho questa funzione:
$f(x,y)=x^2y^2+x^3-3x^2$
faccio le derivate parziali:
$f_x=2xy^2 + 3x^2 -6x=0$
$f_y=2x^2y=0$
Opero secondo lo stesso ragionamento di prima?
svolgo $f_y$ e mi trovo $y=0$
sostituisco poi in $f_x$ e ottengo $(x,0)$ ??
.. che però mi sembra strano, perchè se faccio la sostituzione con $y=0$ in $f_x$, non mi rimane $3x^2-6x$?
Dalla seconda equazione ricavo la soluzione $y=0 $ che sostituita nella prima dà : $ x=0; x= 2 $ .
I punti critici sono quindi $A( 0,0 );B(2,0) $.
Dalla seconda equazione ricavo anche la soluzione $x=0 $ che messa nella prima la soddisfa per qualunque valore di $y $ : abbiamo quindi che l'asse $y $ e quindi i punti $(0,y) $ sono tutti punti critici .
In conclusione sono punti critici $A, B $ e l'asse $y $.
Perchè un punto sia critico bisogna che le sue due coordinate soddisfino ENTRAMBE le equazioni $f_x =0 ; f_y =0 $ cioè a dire che il gradiente della funzione sia nullo in quel punto.
I punti critici sono quindi $A( 0,0 );B(2,0) $.
Dalla seconda equazione ricavo anche la soluzione $x=0 $ che messa nella prima la soddisfa per qualunque valore di $y $ : abbiamo quindi che l'asse $y $ e quindi i punti $(0,y) $ sono tutti punti critici .
In conclusione sono punti critici $A, B $ e l'asse $y $.
Perchè un punto sia critico bisogna che le sue due coordinate soddisfino ENTRAMBE le equazioni $f_x =0 ; f_y =0 $ cioè a dire che il gradiente della funzione sia nullo in quel punto.
grazie Camillo,
coi due punti A e B i ci ritrovavo, è con l'altro che faccio confusione.
grazie mille
coi due punti A e B i ci ritrovavo, è con l'altro che faccio confusione.
grazie mille
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