Dubbio punti accumulazione
ho un dubbio sulla correttezza di questo passaggio relativo ad un esempio sui punti di accumulazione.
si tratta di una dispensa precorso di unimi e mi sembra strano sia un errore..
"... L’insieme dei punti di accumulazione e dei punti di accumulazione da sinistra di [1, 2) ∪ {3} è [1, 2], mentre l’insieme dei suoi punti di accumulazione da destra è [1, 2). Si noti che 2 è punto di accumulazione di [1, 2) ∪ {3} ma non vi appartiene. ..."
il mio dubbio è sui punti di accumulazione da sx, poichè 1 appartiene all'insieme
si tratta di una dispensa precorso di unimi e mi sembra strano sia un errore..
"... L’insieme dei punti di accumulazione e dei punti di accumulazione da sinistra di [1, 2) ∪ {3} è [1, 2], mentre l’insieme dei suoi punti di accumulazione da destra è [1, 2). Si noti che 2 è punto di accumulazione di [1, 2) ∪ {3} ma non vi appartiene. ..."
il mio dubbio è sui punti di accumulazione da sx, poichè 1 appartiene all'insieme
Risposte
La dicitura "punto di accumulazione da destra /sinistra" onestamente non l'avevo mai sentita. Cosa intendi di preciso?
Se parliamo di insieme dei punti di accumulazione, converrai con me che tale insieme risulta essere $[1,2]$.
Cerchiamo di capirne il perché. Innanzi tutto, considerato $A\sub R$, diremo che $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ se per ogni intervallino del tipo $(x_0-r,x_0+r)$ con $r>0$ ,arbitrario, accade che $(x_0-r,x_0+r) nn (A\\{x_0}) !=0$. (1)
Prendiamo $A=[1,2) uu {3}$, osserva che 3 non soddisfa la condizione (1). Infatti, basta prendere $r=1/2$ e $(3-1/2,3+1/2) nn [1,2)=0$ Cioé non è di accomulazione.
I punti contenuti in $[1,2)$ sono banalmente di accomulazione.
Il numero 2 è di accomulazione. Basterà far vedere che è di accomulazione di $[1,2)$. (Ciò in realtà è immediato perché 2 è il suo sup, ma va be'.. sporcarsi un po' le mani non fa mai male.
)
Quindi, per ogni $r>0$ esiste un elemento $x$ di $[1,2)$ tale che $2-r
(X)
Tutto chiaro?
Se parliamo di insieme dei punti di accumulazione, converrai con me che tale insieme risulta essere $[1,2]$.
Cerchiamo di capirne il perché. Innanzi tutto, considerato $A\sub R$, diremo che $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ se per ogni intervallino del tipo $(x_0-r,x_0+r)$ con $r>0$ ,arbitrario, accade che $(x_0-r,x_0+r) nn (A\\{x_0}) !=0$. (1)
Prendiamo $A=[1,2) uu {3}$, osserva che 3 non soddisfa la condizione (1). Infatti, basta prendere $r=1/2$ e $(3-1/2,3+1/2) nn [1,2)=0$ Cioé non è di accomulazione.
I punti contenuti in $[1,2)$ sono banalmente di accomulazione.
Il numero 2 è di accomulazione. Basterà far vedere che è di accomulazione di $[1,2)$. (Ciò in realtà è immediato perché 2 è il suo sup, ma va be'.. sporcarsi un po' le mani non fa mai male.
)Quindi, per ogni $r>0$ esiste un elemento $x$ di $[1,2)$ tale che $2-r
(X)
Tutto chiaro?
I punti di accumulazione da destra/sinistra si definiscono solo per i sottoinsiemi della retta: $x$ è di accumulazione da destra per $A\subseteq RR$ se in ogni suo intorno destro (i.e. del tipo $[x,x+r)$) cadono (infiniti) punti di $A$ distinti da $x$ (analogo discorso a sinistra).
Chiaro che se $x$ è d'accumulazione da destra/sinistra allora è d'accumulazione, mentre il viceversa non è vero (per esempio $x=2$ è di accumulazione per $A=[1,2)$, come ha mostrato Kashaman - che saluto
, ma non lo è da destra).
In effetti direi proprio che $x=1$ non è di accumulazione da sinistra
(perlomeno non lo è stando alla definizione che ne ho dato su).
Chiaro che se $x$ è d'accumulazione da destra/sinistra allora è d'accumulazione, mentre il viceversa non è vero (per esempio $x=2$ è di accumulazione per $A=[1,2)$, come ha mostrato Kashaman - che saluto
, ma non lo è da destra)."Pacchjana":
il mio dubbio è sui punti di accumulazione da sx, poichè 1 appartiene all'insieme
In effetti direi proprio che $x=1$ non è di accumulazione da sinistra
(perlomeno non lo è stando alla definizione che ne ho dato su).
Riporto la definizione della dispensa:
"P è punto di accumulazione destro (sinistro) per il sottoinsieme A di R se in ogni intorno destro (sinistro) di x0 esistono elementi di A diversi da P. ..."
Secondo quella definizione allora i punti di accumulazione da sinistra dell'insieme [1,2)∪{3} sono dati dall'intervallo (1,2] e non invece [1,2] come scritto nella soluzione della dispensa (mi sembrava strano ci fosse un errore del genere ma credo a Plepp e ringrazio)
"P è punto di accumulazione destro (sinistro) per il sottoinsieme A di R se in ogni intorno destro (sinistro) di x0 esistono elementi di A diversi da P. ..."
Secondo quella definizione allora i punti di accumulazione da sinistra dell'insieme [1,2)∪{3} sono dati dall'intervallo (1,2] e non invece [1,2] come scritto nella soluzione della dispensa (mi sembrava strano ci fosse un errore del genere ma credo a Plepp e ringrazio)
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