Dubbio proprietà trasformata di laplace
Salve a tutti,
devo effettuare la trasformata di laplace di:
$L(e^t*u(t-1))$
Solo che mi trovo davanti a due possibili strade (probabilmente una delle due errata), ovvero:
1) $L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(-1)*e^t*u(t-1)) = e*L(e^(t-1)*u(t-1)) = e*e^(-s)*L(e^t*u(t)) = e*{e^(-s)*L(u(t))} (s-1) = e* e^-(s-1) * 1/(s-1)$
2) $L(e^t*u(t-1)) = {L(u(t-1))}(s-1) = {e^-s*L(u(t))}(s-1) = e^-(s-1) * 1/(s-1)$
Potete dirmi quale delle due è quella corretta e perchè?
Grazie mille a tutti!
devo effettuare la trasformata di laplace di:
$L(e^t*u(t-1))$
Solo che mi trovo davanti a due possibili strade (probabilmente una delle due errata), ovvero:
1) $L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(-1)*e^t*u(t-1)) = e*L(e^(t-1)*u(t-1)) = e*e^(-s)*L(e^t*u(t)) = e*{e^(-s)*L(u(t))} (s-1) = e* e^-(s-1) * 1/(s-1)$
2) $L(e^t*u(t-1)) = {L(u(t-1))}(s-1) = {e^-s*L(u(t))}(s-1) = e^-(s-1) * 1/(s-1)$
Potete dirmi quale delle due è quella corretta e perchè?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Continuando a ragionarci su, mi è sorto un dubbio.
È possibile che entrambi i ragionamenti siano giusti (nel senso che posso applicare con qualunque ordine le due proprietà di traslazione), solo che nel primo caso dovrei correggere questo passaggio?
$L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(-1)*e^t*u(t-1)) = e*L(e^(t-1)*u(t-1)) = e*e^(-s)*L(e^t*u(t)) = e*e^(-s)*{L(u(t))} (s-1) = e* e^-s * 1/(s-1) = e^-(s-1)*1/(s-1)$
Ovvero non includendo $e^-s$ quando applico la proprietà di traslazione complessa. È giusto?
È possibile che entrambi i ragionamenti siano giusti (nel senso che posso applicare con qualunque ordine le due proprietà di traslazione), solo che nel primo caso dovrei correggere questo passaggio?
$L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(-1)*e^t*u(t-1)) = e*L(e^(t-1)*u(t-1)) = e*e^(-s)*L(e^t*u(t)) = e*e^(-s)*{L(u(t))} (s-1) = e* e^-s * 1/(s-1) = e^-(s-1)*1/(s-1)$
Ovvero non includendo $e^-s$ quando applico la proprietà di traslazione complessa. È giusto?
Up
Up
La trasformata della tua funzione è
$ L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(t -1)*u(t-1)) = e*e^(-s) L(e^(t)*u(t)) = e^(1-s)*L(e^t*u(t)) = e^-(s-1) * 1/(s-1) $
Se tu guardi dalla tabella delle trasformate vedi che $ L( e^t* u(t))$ è una trasformata notevole.
$ L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(t -1)*u(t-1)) = e*e^(-s) L(e^(t)*u(t)) = e^(1-s)*L(e^t*u(t)) = e^-(s-1) * 1/(s-1) $
Se tu guardi dalla tabella delle trasformate vedi che $ L( e^t* u(t))$ è una trasformata notevole.
"elmachico":
La trasformata della tua funzione è
$ L(e^t*u(t-1)) = L(e*e^(t -1)*u(t-1)) = e*e^(-s) L(e^(t)*u(t)) = e^(1-s)*L(e^t*u(t)) = e^-(s-1) * 1/(s-1) $
Se tu guardi dalla tabella delle trasformate vedi che $ L( e^t* u(t))$ è una trasformata notevole.
Innanzitutto grazie della risposta, però vorrei capire bene come e quando usare la proprietà della traslazione nel tempo.
Ovvero, la formula generale è : $L[f(t-a)u(t-a)] = e^(-as)*L[f(t)u(t)]$.
Però se ad esempio ho $L[t*u(t-3)]$ posso applicare prima la proprietà di moltiplicazione per t e poi quella di traslazione nel tempo? O devo per forza prima portarmi anche quella t in forma di t-a ?
Allo stesso modo nell'esempio iniziale di questo post, non potevo applicare prima la proprietà di traslazione complessa e poi quella di traslazione nel tempo (ossia quella del secondo metodo che ho proposto)?
Per l'esempio che hai indicato puoi seguire due strade:
1) sfrutti la proprietà di derivata in frequenza e quindi hai $\frac{d}{ds}[L(u(t-3))]$
oppure
2) ti riconduci alla formula generale che hai scritto ottenendo $L[t u(t-3))]= L[(t-3) u(t-3))]+ 3L[u(t-3)]$
Se fai i calcoli vedi che entrambe le strade ti portano allo stesso risultato. Stesso discorso vale per l'esercizio del primo post.
Con questo capisci che non c'è una regola generale che ti dice quando usare una proprietà o l'altra, sei tu che in base all'esercizio devi essere in grado di capire quale usare.
1) sfrutti la proprietà di derivata in frequenza e quindi hai $\frac{d}{ds}[L(u(t-3))]$
oppure
2) ti riconduci alla formula generale che hai scritto ottenendo $L[t u(t-3))]= L[(t-3) u(t-3))]+ 3L[u(t-3)]$
Se fai i calcoli vedi che entrambe le strade ti portano allo stesso risultato. Stesso discorso vale per l'esercizio del primo post.
Con questo capisci che non c'è una regola generale che ti dice quando usare una proprietà o l'altra, sei tu che in base all'esercizio devi essere in grado di capire quale usare.
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