Dubbio proprietà di Z

[Mimmo931]

Leggendo sul Lanconelli di analisi 1
Sia A un sottoinsieme non vuoto di Z.Ebbene
- se A è superiormente limitato allora A ha massimo
- se A è inferiormente limitato allora A ha minimo

Ora mi domando, ma la prima affermazione in cosa è diversa dall'assioma di completezza di R ?

[ciampax]

Un massimo è un estremo superiore, ma non è vero il viceversa in $RR$. In $ZZ$ invece, se tu dici che esiste $M$ tale che $x< M$ per ogni $x\in A$ (superiormente limitato) poiché $A$ è fatto di numeri interi, allora al più il valore $[M]$ (la parte intera di $M$), deve stare nell'insieme, e non c'è altro valore tra esso e $[M]+1$. Se invece la stessa cosa accade per un $A$ in $RR$, allora non è detto che $M$ sia il massimo (potrebbe semplicemente essere l'estremo superiore). Ecco perché l'assioma di completezza vale solo in $RR$.