Dubbio procedimento risuolutivo di alcune serie
spero di aver azzeccato sezione. Comunque ho alcune "lacune" sullo svolgimento della serie , per esempio
ho questo esercizio:
$\sum_{k=1}^N (log(n^5)/ (log(1+(n^3))))^n$
io intanto pongo la considione necessaria cioè $lim n->+oo = 0$ e vedo che la serie puo' convergere
successivamente uso il criterio della radice e mi rimane
$\sum_{k=1}^N (log(n^5)/ (log(1+(n^3))))$ che faccio diventare $(log(n^5)/(n^3))$
successivamente faccio il limite $lim n->+oo (log(n^5)/(n^3))$ e qui ho i dubbi nel senso che derivo con l'hopital mi viene $5/(n^7)$ e sono convinto sia sbagliato , non so come altro continuare per arrivare alla soluzione , sbaglio ho col criterio della radice deve venire un numero come risultato?! nel senso che come risultato deve venire o l>1 che quindi diverge o l<1 che converge , in questo caso a me verrebbe la soluzione l/oo quindi 0 quindi convergerebbe , ma mi sa che sbaglio!
poi anche questo esercizio
$\sum_{k=2}^N (1 + (n/(nlog(n))))^n $
faccio la stessa cosa prima
e rimango poi alla fine con
$lim n->+oo (1+ (n/(nlog(n))))$ e anche qui sono bloccato uso l'hopital e mi viene n quindi +oo (non dovrebbe anche qui venire un numero l che mi permetta di stabilire se diverge o converge?)
ps ho delle difficoltà con il criterio del confornto , qualcuno potrebbe spiegarmi come si utilizza , va utilizzato anche qua?
grazie in anticipo!
ho questo esercizio:
$\sum_{k=1}^N (log(n^5)/ (log(1+(n^3))))^n$
io intanto pongo la considione necessaria cioè $lim n->+oo = 0$ e vedo che la serie puo' convergere
successivamente uso il criterio della radice e mi rimane
$\sum_{k=1}^N (log(n^5)/ (log(1+(n^3))))$ che faccio diventare $(log(n^5)/(n^3))$
successivamente faccio il limite $lim n->+oo (log(n^5)/(n^3))$ e qui ho i dubbi nel senso che derivo con l'hopital mi viene $5/(n^7)$ e sono convinto sia sbagliato , non so come altro continuare per arrivare alla soluzione , sbaglio ho col criterio della radice deve venire un numero come risultato?! nel senso che come risultato deve venire o l>1 che quindi diverge o l<1 che converge , in questo caso a me verrebbe la soluzione l/oo quindi 0 quindi convergerebbe , ma mi sa che sbaglio!
poi anche questo esercizio
$\sum_{k=2}^N (1 + (n/(nlog(n))))^n $
faccio la stessa cosa prima
e rimango poi alla fine con
$lim n->+oo (1+ (n/(nlog(n))))$ e anche qui sono bloccato uso l'hopital e mi viene n quindi +oo (non dovrebbe anche qui venire un numero l che mi permetta di stabilire se diverge o converge?)
ps ho delle difficoltà con il criterio del confornto , qualcuno potrebbe spiegarmi come si utilizza , va utilizzato anche qua?
grazie in anticipo!
Risposte
Nessuno può aiutarmi ? Ho sbagliato sezione ?
Come fai a dire che $\log(1+n^3)=n^3+...$?? Semmai $\log(1+1/n^3)=1/n^3+...$. L'idea del criterio della radice è giusta: per cui devi calcolare
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n^5}{\log(1+n^3)}=\lim_{n\to+\infty}\frac{5\log n}{3\log n}=\frac{5}{3}>1$$
e quindi la serie diverge.
La seconda mi sembra strana: voglio dire, semplificando le $n$ viene fuori $(1+1/{\log n})^n$ per il termine generale, per cui si vede che non converge. Infatti
$$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\log n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right]^{n/\log n}=+\infty$$
in quanto il termine dentro parentesi quadre ha limite $e$ mentre l'esponente più esterno è infinito. Per cui, visto che il termine generale non è infinitesimo, la serie diverge positivamente (visto che è a segni positivi).
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n^5}{\log(1+n^3)}=\lim_{n\to+\infty}\frac{5\log n}{3\log n}=\frac{5}{3}>1$$
e quindi la serie diverge.
La seconda mi sembra strana: voglio dire, semplificando le $n$ viene fuori $(1+1/{\log n})^n$ per il termine generale, per cui si vede che non converge. Infatti
$$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\log n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right]^{n/\log n}=+\infty$$
in quanto il termine dentro parentesi quadre ha limite $e$ mentre l'esponente più esterno è infinito. Per cui, visto che il termine generale non è infinitesimo, la serie diverge positivamente (visto che è a segni positivi).
Io più che altro sapevo che $log(1+f(x)) = f(x)$! Non capisco bene il procedimento per arrivare a 5/3 visto che il denominatore viene trattato come il numeratore anche se abbiamo $log(1+(n^3))$ grazie per l aiuto !!
Sapevi male:
$$\log(1+f(x))\sim f(x)\ \Leftrightarrow\ f(x)\to 0$$
cioè quando la funzione è infinitesima. A te pare che $n^3\to 0$? Per il calcolo, ho osservato che $\log(1+n^3)=\log(n^3(1+1/n^3))\to\log n^3$ e la regola $\log a^x=x\log a$.
$$\log(1+f(x))\sim f(x)\ \Leftrightarrow\ f(x)\to 0$$
cioè quando la funzione è infinitesima. A te pare che $n^3\to 0$? Per il calcolo, ho osservato che $\log(1+n^3)=\log(n^3(1+1/n^3))\to\log n^3$ e la regola $\log a^x=x\log a$.
"ciampax":
Sapevi male:
$$\log(1+f(x))\sim f(x)\ \Leftrightarrow\ f(x)\to 0$$
cioè quando la funzione è infinitesima. A te pare che $n^3\to 0$? Per il calcolo, ho osservato che $\log(1+n^3)=\log(n^3(1+1/n^3))\to\log n^3$ e la regola $\log a^x=x\log a$.
hai ragione per $n->+oo$ $n^3 =+oo$ invece $(1/n^3)=0$ ...ho detto una stupidata! grazie per l'aiuto
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