Dubbio problema di Cauchy

[AlyAly2]

Ciao a tutti, il problema di Cauchy è il seguente:
$ { ( x'=t-t/x ),( x(0)=1/3 ):} $
ora il mio dubbio è il seguente: nello studio qualitativo di tale problema ad un certo punto c'è scritto:
$ 0 dove $phi(t)$ è la soluzione del problema di Cauchy e $(alpha, omega) $ è l'intervallo massimale di esistenza.
io ho capito perché $phi(t)<1$ ($x -= 1$ è soluzione costante e $x(0)=1/3$) ma non capisco come si arrivi a dire che
$ 0 grazie mille in anticipo!

[Paolo902]

Per applicare il Teorema di esistenza e unicità devi trovarti un aperto $\Omega \subset RR^2$ su cui il secondo membro sia continuo e localmente lipschitziano (di solito è $C^1$ e siamo a posto).

Nel caso in esame, possiamo scrivere
\[
\begin{split}
f \colon & \Omega \to \mathbb R \\
& (t,x) \mapsto t-\frac{t}{x}
\end{split}
\]
dove $\Omega:=\{(t,x): x > 0\}$ (osserva che in realtà basterebbe chiedere $x \ne 0$, ma per ragioni di connessione del dominio facciamo che prendere il semipiano che contiene il dato iniziale). E' ora evidente che la $f$ ha tutta la regolarità che vuoi su $\Omega$ quindi vale il teorema di esistenza e unicità locale.

Il fatto che poi ci sia la soluzione stazionaria $x \equiv 1$, obbliga la soluzione del tuo problema di Cauchy a rimanere "pizzicata" tra 0 e 1. Ti è chiaro ora?

P.S. Capietto? (Mi pare di riconoscere lo stile...)

[AlyAly2]

Io per l'esistenza e unicità locale avevo chiesto solo $ x!=0 $ senza ragionare sulla connessione del dominio. Ora mi è tutto chiaro, Grazie

"Paolo90":
P.S. Capietto? (Mi pare di riconoscere lo stile...)

Si , esatto, è una sua vecchia prova d'esame, hai intuito bene