Dubbio Problema di cauchy

[r4ph43l]

Ciao ragazzi, sto svolgendo un po di esercizi su cauchy a 2 variabili. Il testo e' questo:

$ y' = (y-2x)/(x+1) $
$ y(0) = 2 $
Allora guardando l'esercizio lo risolvo portando le y da una parte e le x le mantengo dove sono, ottenendo:

$ 1/yy' = (-2x)/(x+1) $

a questo punto integro

$ int 1/y dy $ = $ -2 int (x/(x+1))dx $



ottenendo:

$ y^2/2 = x - ln|x+1| + C $

E infine: $ y(x) = pm sqrt(2x + 2ln|x+1|+ C ) $

Ottengo cosi la soluzione generale del problema, ora vado a vedere quella particolare sostituendo lo 0 nella mia x e viene che

2 = pm sqrt(C)


E' corretto lo sviluppo dell'esercizio in questa maniera??

vi ringrazio

R4ph43l

[Brancaleone1]

"r4ph43l":

$ y' = (y-2x)/(x+1) $
$ y(0) = 2 $
Allora guardando l'esercizio lo risolvo portando le y da una parte e le x le mantengo dove sono, ottenendo:

$ 1/yy' = (-2x)/(x+1) $

Ciao.
Non è alle variabili separabili: come puoi portare $y$ a sinistra in quel modo?

EDIT:

$y' = (y-2x)/(x+1)= y/(x+1)-(2x)/(x+1) \Rightarrow y'-y/(x+1)=-(2x)/(x+1)$

è riconducibile alla forma

$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$

dove

$a(x)=1/(x+1)$
$f(x)=-(2x)/(x+1)$

Ora la soluzione del problema di Cauchy segue la solita formula

$y(x)=y_0e^(-A(x))+e^(-A(x)) \int_(x_0)^xf(t)e^(A(t))dt$

dove

$A(x)=\int a(x)dx$

[r4ph43l]

Non posso moltiplicare entrambi i membri per $ 1/y $ ??

[r4ph43l]

Azz!! hai ragione! c'e una sottrazione al numeratore quindi nn posso fare in quel modo ! Quindi com'e che si procede??

Grazie!

[lordb]

Se la scrivessi:

$y'(x)= 1/(x+1) y(x) -(2x)/(x+1)$

non ti viene in mente niente?

[Brancaleone1]

L'ho scritto sopra...

[r4ph43l]

Ti ringrazio, ho commentato prima che facessi, l'edit ! Adesso controllo il tutto, grazie a entrambi!

[r4ph43l]

dunque, essendo l'equazione differenziale lineare del primo ordine; perche utilizzi quella formula? Io ho sempre usato quella qua sotto:

$ y(x) = e^-(A(x)) int e^(A(x))f(x)dx + ce^(-A(x)) $

Sapendo che:

$ A(x) = ln(x+1) $

Inserisco nella formula in questa maniera:

$ y(x) = e^(-ln(x+1)) int e^(ln(x+1))* (-(2x)/(x+1))+c*e^(-ln(x+1)) $

cosi dovrebbe essere corretto no??

A questo punto faccio i calcoli integrali e vado avanti cosi fino a trovare la soluzione generale per y(x) e sucessivamente cerco quella particolare per C.

Grazie!

[Brancaleone1]

"r4ph43l":dunque, essendo l'equazione differenziale lineare del primo ordine; perche utilizzi quella formula? Io ho sempre usato quella qua sotto:

$ y(x) = e^-(A(x)) int e^(A(x))f(x)dx + ce^(-A(x)) $

La formula che ho scritto serve a trovare direttamente la soluzione particolare per Cauchy.
La formula che hai scritto è giusta ma serve per trovare la sola soluzione generale, che dovrai poi calcolarti a parte (anche se non è 'sta gran fatica). Quella che ho scritto è "la più diretta".

Mi sembra che l'impostazione sia corretta.

[r4ph43l]

Ah ok!! Unica cosa, quel $ y(0) $ sarebbe??

[lordb]

Ti dice cha la funzione che stai cercando in $0$ vale $2$.

[r4ph43l]

dio mio che rincoglionito che sono :/ :/ :/. grazie! Ok adesso dovrei esserci finalmente !

[r4ph43l]

Ho provato ad applicare quella formula quindi sostituendo la $ y(0) $ con il 2. Facendo i vari calcoli mi viene fuori:

$ y(x) = (2+1)/(x+1) -x^2 + C $

Tralasciando la correttezza dei calcoli (che conoscendomi potrei aver sbagliato), a sto punto sostituisco la x con lo 0 e trovo la C giusto?