Dubbio problema di Cauchy
Ciao a tutti,
ho il seguente problema di Cachy:
${y' + 3x^2y^4 = 0 $
${y(1) = 0$
Il libro mi dice che la funzione identicamente nulla è l'unica soluzione del problema di Cauchy in quanto soddisfa sia l'equazione differenziale che il dato iniziale.
Ora ho un esercizio senza soluzione:
${y' = y^2xcosx$
${y(1) = 0$
La mia domanda è: anche in questo caso l'unica soluzione è la funzione identicamente nulla???
Infatti a me sembra soddisfare sia sia l'equazione differenziale che il dato iniziale...
ho il seguente problema di Cachy:
${y' + 3x^2y^4 = 0 $
${y(1) = 0$
Il libro mi dice che la funzione identicamente nulla è l'unica soluzione del problema di Cauchy in quanto soddisfa sia l'equazione differenziale che il dato iniziale.
Ora ho un esercizio senza soluzione:
${y' = y^2xcosx$
${y(1) = 0$
La mia domanda è: anche in questo caso l'unica soluzione è la funzione identicamente nulla???
Infatti a me sembra soddisfare sia sia l'equazione differenziale che il dato iniziale...
Risposte
La funzione identicamente nulla è soluzione per definizione (è una funzione di classe $C^1$ che soddisfa puntualmente l'equazione differenziale e assume il dato iniziale).
L'unicità discende dal teorema di esistenza e unicità (in particolare, in questo caso il secondo membro è di classe $C^1$ su tutto $\mathbb{R}^2$).
L'unicità discende dal teorema di esistenza e unicità (in particolare, in questo caso il secondo membro è di classe $C^1$ su tutto $\mathbb{R}^2$).
Quindi in tal caso non ha senso seperare le variabili???
Inoltre vale lo stesso ragionamento per il seguente problema di Cauchy
???
${y' = (y^2 - 1)/(x^2 - 1)$
${y(0) = 0$
Inoltre vale lo stesso ragionamento per il seguente problema di Cauchy
???${y' = (y^2 - 1)/(x^2 - 1)$
${y(0) = 0$
Secondo te la funzione nulla ha derivata costante uguale a $1$?
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