Dubbio per lo studio della convergenza serie
Oggi mi è venuto un dubbio....
quando studio una serie $a_n$ e applico i criteri del rapporto e della radice,
ci ritroviamo a dover calcolare un limite della rispettiva successione per $n->oo$
ora mi domando.... ma per risolvere questo limite è lecito poter calcolare quel limite considerando quella successione come una funzione per poter applicare per esempio il teorema dell'Hopital???
Grazie........
quando studio una serie $a_n$ e applico i criteri del rapporto e della radice,
ci ritroviamo a dover calcolare un limite della rispettiva successione per $n->oo$
ora mi domando.... ma per risolvere questo limite è lecito poter calcolare quel limite considerando quella successione come una funzione per poter applicare per esempio il teorema dell'Hopital???
Grazie........
Risposte
è un limite come un altro...
se converge, converge anche con da l'hopital...
però se non lo usi è meglio in generale
se converge, converge anche con da l'hopital...
però se non lo usi è meglio in generale
detto così non mi convince molto, la mia proff li ha distinti più volte....
un'altra domanda..... ma se con questi criteri il limite esiste ma è infinito? la serie diverge o non si può niente a riguardo del suo carattere utilizzando quel criterio????
un'altra domanda..... ma se con questi criteri il limite esiste ma è infinito? la serie diverge o non si può niente a riguardo del suo carattere utilizzando quel criterio????
Quando si ha a che fare con limiti di successioni non si può usare de l'Hopital, perché le derivate non sono definite per le successioni, però si può fare in modo da ricondurcisi, passando alla variabile reale.
Non riesco a trovare il post in cui Fioravante me lo spiegava, pertanto te lo dico a parole mie, facendo un esempio. Supponi di dover calcolare
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n + 10)}{\ln(2n + 50)}$
Non si può usare de l'Hopital, allora si passa alla variabile reale, studiando questo limite
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 10)}{\ln(2x +50)}$
La differenza rispetto a prima è che $x$ è una variabile reale, mentre $n \in \mathbb{N}$. Ora ha senso parlare di derivate, e si può usare de l'Hopital. Se il secondo limite esiste, allora esiste anche il primo, e sono ovviamente uguali. Ma se il secondo non esiste, non è detto che non esista pure il primo, ad esempio
$\lim_{x \to +\infty} \sin(2 \pi x)$ non esiste, ma
$\lim_{n \to +\infty} \sin(2 \pi n) = 0$
Per quanto riguarda l'altra cosa, se la serie è a termini positivi, e applichi uno dei criteri che hai citato, se il risultato del limite è un numero maggiore di $1$ o $+\infty$ allora la serie diverge.
Non riesco a trovare il post in cui Fioravante me lo spiegava, pertanto te lo dico a parole mie, facendo un esempio. Supponi di dover calcolare
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n + 10)}{\ln(2n + 50)}$
Non si può usare de l'Hopital, allora si passa alla variabile reale, studiando questo limite
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 10)}{\ln(2x +50)}$
La differenza rispetto a prima è che $x$ è una variabile reale, mentre $n \in \mathbb{N}$. Ora ha senso parlare di derivate, e si può usare de l'Hopital. Se il secondo limite esiste, allora esiste anche il primo, e sono ovviamente uguali. Ma se il secondo non esiste, non è detto che non esista pure il primo, ad esempio
$\lim_{x \to +\infty} \sin(2 \pi x)$ non esiste, ma
$\lim_{n \to +\infty} \sin(2 \pi n) = 0$
Per quanto riguarda l'altra cosa, se la serie è a termini positivi, e applichi uno dei criteri che hai citato, se il risultato del limite è un numero maggiore di $1$ o $+\infty$ allora la serie diverge.
"Tipper":
Quando si ha a che fare con limiti di successioni non si può usare de l'Hopital, perché le derivate non sono definite per le successioni, però si può fare in modo da ricondurcisi, passando alla variabile reale.
si ma se hai n->+oo definita sulle successioni ok nn vale de l'hopital per quello che ha detto Tipper, ma basta fregarsene e far finta che si è sui reali, magari girando la serie $epsilon_n->0$ in modo da avere anche un limite che tende a zero.
li puoi applicare quello che vuoi, ma sinceramente un ragionamento cm questo è al più da ingegneri è questo che intendevo nel mio post:-D
"fu^2":
[quote="Tipper"]Quando si ha a che fare con limiti di successioni non si può usare de l'Hopital, perché le derivate non sono definite per le successioni, però si può fare in modo da ricondurcisi, passando alla variabile reale.
ma sinceramente un ragionamento cm questo è al più da ingegneri [/quote]
capito tutto grazie!
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