Dubbio passaggio matematico

[fede161]

Ho un dubbio su un passaggio matematico in questo esercizio.

Dice:
Si consideri lo spazio metrico completo $ C^0([-1,1]) $ delle funzioni continue nell'intervallo $ [-1, 1] $ a valori complessi con la distanza

$ d(f,g)= Sup _(-1<=x<=1) |f(x)-g(x)| $

Si determini se la successione di funzioni $ f_n(x)= sqrt(1/n+x^2) $ è di Cauchy.

Nella risoluzione dell'esercizio mi dice che la successione è di Cauchy in quanto
$ d(f_n,f_m)= Sup_(-1<=x<=1)|sqrt(1/n+x^2) -sqrt(1/m+x^2)| = |1/n-1/m| to 0 $

Come fa ad arrivare a $ |1/n-1/m| $ ?? Grazie per la risposta.

[Plepp]

Prova a razionalizzare

[fede161]

Ok ma poi arrivo a questo punto

$ (1/n^2 -1/m^2)/( sqrt (1/n^2 + x^2)+ sqrt (1/m^2 + x^2)) $

e come vado avanti?

[Plepp]

Uhm, in effetti non si arriva dove volevi tu

Hai sbagliato qualche conto. Facendo come ti ho detto hai:
\[\dfrac{1/n-1/m}{\sqrt{1/n+x^2}+\sqrt{1/m+x^2}}\le \dfrac{1/n-1/m}{\sqrt{1/n}+\sqrt{1/m}}=\sqrt{1/n}-\sqrt{1/m}\to 0\]
Ora sto esausto e stacco; se non ancora non hai risolto, proviamo domani a capire come arrivare dove volevi

[fede161]

ma scherzi!! grazie mille comunque ! provo domani a rimediare qualcosa

grazie mille comunque

[gugo82]

Si verifica quasi senza sforzo che la funzione potenza con esponente \(0<\gamma \leq 1\) soddisfa la seguente disuguaglianza:
\[
\left| |a|^\gamma - |b|^\gamma \right| \leq \left| a-b\right|^\gamma\; ,
\]
con \(a,b\in \mathbb{R}\); in particolare, per \(\gamma =1/2\) hai:
\[
\left| \sqrt{|a|} - \sqrt{|b|}\right| \leq \sqrt{|a-b|}\; .
\]
Da ciò segue immediatamente che la tua successione di funzioni è di Cauchy nella norma uniforme.

[fede161]

Grazie della risposta gugo!! però avrei bisogno di capire come fa a fare tutti i conti..