Dubbio numeri complessi

[grimo1]

Ciao a tutti. In diversi calcoli ho visto delle trasformazioni con i numeri complessi che non mi sono ben note. Questo è quello che si ha: $ delta_1=1/V_dV_(cref)-1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi)=sqrt3/V_dV_(cref)e^(-jpi/6) $ . Come è possibile?
Oppure $ delta_2=1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi)-1/V_dV_(cref)e^(j4/3pi)=sqrt3/V_dV_(cref)j $
Grazie.

[gugo82]

Beh, metti in evidenza e fai ci conti con la forma esponenziale.

[grimo1]

"gugo82":Beh, metti in evidenza e fai ci conti con la forma esponenziale.

è quello che ho provato a fare ma proprio non riesco. Potresti indicarmi i passaggi? Grazie!

[pilloeffe]

Ciao grimo,

Benvenuto sul forum!

"grimo":In diversi calcoli ho visto delle trasformazioni con i numeri complessi che non mi sono ben note.

Strano, perché non sono altro che applicazioni delle ben note formule di Eulero:

$e^{j x} = cos x + j sin x $
$e^{- j x} = cos x - j sin x $

$cos x = (e^{j x} + e^{- j x})/2 $
$sin x = (e^{j x} - e^{- j x})/(2 j) $

"grimo":Come è possibile?

Procedi raccogliendo come ti è già stato suggerito e poi applica le formule di Eulero poc'anzi citate.
Per $\delta_1 $ conviene raccogliere anche $e^{- j \pi/6} $, per $\delta_2 $ anche $e^{j \pi} = - 1 $

[grimo1]

Non so, ho provato e riprovato ma non ne riesco a venire a capo. Ci deve essere qualcosa che mi sfugge ma non capisco cosa. In particolare non riesco a capire come lavorando con le esponenziali riesca ad ottenere quel $ sqrt(3) $.

[pilloeffe]

"grimo":Non so, ho provato e riprovato ma non ne riesco a venire a capo. Ci deve essere qualcosa che mi sfugge [...]

Non capisco che cosa, perché è veramente molto semplice:

$\delta_1 = 1/V_dV_(cref)-1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi) = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) (e^{j \pi/6} - e^{j (5\pi)/6}) = $
$ = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) [cos(\pi/6) + j sin(\pi/6) - cos((5\pi)/6) - j sin((5\pi)/6)] = $
$ = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) [sqrt3/2 + 1/2 j + sqrt3/2 - 1/2 j] = $
$ = sqrt3/V_dV_(cref)e^(-jpi/6) $

Per $\delta_2 $ poi è ancora più semplice:

$\delta_2 = 1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi)-1/V_dV_(cref)e^(j4/3pi) = 1/V_dV_(cref) e^{j \pi}(e^{- j \pi/3} - e^{j \pi/3}) = $
$ = 1/V_dV_(cref) (e^{j \pi/3} - e^{- j \pi/3}) = 1/V_dV_(cref) \cdot 2j sin(\pi/3) = 1/V_dV_(cref) \cdot 2j \cdot sqrt3/2 = $
$ = sqrt3/V_dV_(cref)j $

[grimo1]

"pilloeffe":[quote="grimo"]Non so, ho provato e riprovato ma non ne riesco a venire a capo. Ci deve essere qualcosa che mi sfugge [...]

Non capisco che cosa, perché è veramente molto semplice:

$\delta_1 = 1/V_dV_(cref)-1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi) = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) (e^{j \pi/6} - e^{j (5\pi)/6}) = $
$ = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) [cos(\pi/6) + j sin(\pi/6) - cos((5\pi)/6) - j sin((5\pi)/6)] = $
$ = 1/V_dV_(cref) e^(-jpi/6) [sqrt3/2 + 1/2 j + sqrt3/2 - 1/2 j] = $
$ = sqrt3/V_dV_(cref)e^(-jpi/6) $

Per $\delta_2 $ poi è ancora più semplice:

$\delta_2 = 1/V_dV_(cref)e^(j2/3pi)-1/V_dV_(cref)e^(j4/3pi) = 1/V_dV_(cref) e^{j \pi}(e^{- j \pi/3} - e^{j \pi/3}) = $
$ = 1/V_dV_(cref) (e^{j \pi/3} - e^{- j \pi/3}) = 1/V_dV_(cref) \cdot 2j sin(\pi/3) = 1/V_dV_(cref) \cdot 2j \cdot sqrt3/2 = $
$ = sqrt3/V_dV_(cref)j $[/quote]
Grazie mille, effettivamente mi incartavo nel calcolo degli angoli. Già che ci sono chiedo anche per un'altra formula: $ (j(-2/3e^j(4/3pi)))/(2/3*(j(-2/3e^j(4/3pi)) $ come si risolve? Perchè non si semplificano numeratore e denominatore?

[gugo82]

Certo che si semplificano.