Dubbio numeri complessi
Salve a tutti. Approcciando lo studio dei numeri complessi mi è venuto un dubbio fondamentale. Ora si sa che il quadrato dell'unità immaginaria $i$ è$ -1$. Dunque $i^2=-1$.
Ma $i^2$ lo posso scrivere come $i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt((-1)^2)=1$ Ma ragionando in questa maniera si ha che $i^2=1$ e non $-1$ e ciò è evidentemente sbagliato, ma che cosa è sbagliato in quel ragionamento??? Grazie.
Ma $i^2$ lo posso scrivere come $i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt((-1)^2)=1$ Ma ragionando in questa maniera si ha che $i^2=1$ e non $-1$ e ciò è evidentemente sbagliato, ma che cosa è sbagliato in quel ragionamento??? Grazie.
Risposte
Il problema risiede nell'utilizzare il medesimo simbolo (quello di radice quadrata) in situazioni differenti.
In campo complesso la radice quadrata non è una funzione (è una funzione polidroma, o una multifunzione), dal momento che ogni numero (complesso) non nullo ha due radici quadrate.
In particolare \(\sqrt{-1} = \{-i, +i\}\) (con la radice intesa, ovviamente, in senso complesso).
A questo punto dovrebbe essere chiaro che la scrittura \(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\) non fornisce un risultato univoco.
Inoltre, sempre in campo complesso, \(\sqrt{1} = \{-1, +1\}\), dunque come vedi non c'è nessun paradosso.
In campo complesso la radice quadrata non è una funzione (è una funzione polidroma, o una multifunzione), dal momento che ogni numero (complesso) non nullo ha due radici quadrate.
In particolare \(\sqrt{-1} = \{-i, +i\}\) (con la radice intesa, ovviamente, in senso complesso).
A questo punto dovrebbe essere chiaro che la scrittura \(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\) non fornisce un risultato univoco.
Inoltre, sempre in campo complesso, \(\sqrt{1} = \{-1, +1\}\), dunque come vedi non c'è nessun paradosso.
Ciao, scusa della risposta attardata ma i miei dubbi non finiscono...
Hai scritto che $sqrt(-1)$ può essere uguale a $+i$ o $-i$, ma $-i$ non dovrebbe essere $-(sqrt(-1))$???
Se io scrivo $z^2=-1$, ciò si verifica per $z=+i, z=-i$, ma poi $i=sqrt(-1)$ e $-i=-sqrt-1$, non dovrebbe essere così?
Hai scritto che $sqrt(-1)$ può essere uguale a $+i$ o $-i$, ma $-i$ non dovrebbe essere $-(sqrt(-1))$???
Se io scrivo $z^2=-1$, ciò si verifica per $z=+i, z=-i$, ma poi $i=sqrt(-1)$ e $-i=-sqrt-1$, non dovrebbe essere così?
"Tizi":
Ciao, scusa della risposta attardata ma i miei dubbi non finiscono...
Hai scritto che $sqrt(-1)$ può essere uguale a $+i$ o $-i$, ma $-i$ non dovrebbe essere $-(sqrt(-1))$???
Se io scrivo $z^2=-1$, ciò si verifica per $z=+i, z=-i$, ma poi $i=sqrt(-1)$ e $-i=-sqrt-1$, non dovrebbe essere così?
Come ha già detto Rigel, se $z\ne 0$ è un numero complesso il simbolo
\[\sqrt[n]{z}\]
non indica un numero complesso, ma un insieme di numeri complessi (precisamente l'insieme degli $n$ numeri complessi $w_1,...,w_n$ tali che $z=w_i^n$). Dunque, per esempio, non avrebbe alcun senso, in teoria, una scrittura del tipo $w=\sqrt{z}$: per quanto orrendo, è invece corretto scrivere $w\in \sqrt{z}$.
Per esempio, non è corretto scrivere $\sqrt{-1}=i$, poiché $\sqrt{-1}=\{i,-i\}$. Con un leggero abuso di notazione, si usa scrivere $i=\sqrt{-1}$ per indicare che $i^2=-1$.
In campo reale la questione "radici" viene gestita diversamente: se $n\ge 1$ è un qualunque intero dispari e $x\ne 0$, esiste un unico numero $y$, indicato col simbolo
\[\sqrt[n]{x} \tag{$\star$}\]
tale che $y^n=x$. Se invece $n$ è pari, il problema ha soluzione solo se $x>0$: in tal caso esistono esattamente due numeri $y_1,y_2$, l'uno positivo e l'altro negativo, tali che $x^n=y$, e si conviene di indicare col simbolo $(\star)$ la radice positiva.
Ma allora se ho un'espressione del tipo $z=sqrt(1)+2i$ quel $sqrt(1$ può essere sia $+1$ che$-1$ perchè sto lavorando con i numeri complessi??? Però in questo caso $sqrt1$ è parte reale quindi è reale... non so ho un po di confusione. Grazie
Un'altra cosa: ma se $sqrt(-1)=[-i,i]$ allora dovrebbe anche accadere che $2+6sqrt(-1)=2+6(+i)=2+6(-i)$ quindi risulterebbe che $2+6i=2-6i$ ma quei due complessi sono diversi!
Un'altra cosa: ma se $sqrt(-1)=[-i,i]$ allora dovrebbe anche accadere che $2+6sqrt(-1)=2+6(+i)=2+6(-i)$ quindi risulterebbe che $2+6i=2-6i$ ma quei due complessi sono diversi!
Ce ne sono un sacco di paradossi apparenti come questo. Eccone un altro:
http://mathoverflow.net/a/94833/13042
http://mathoverflow.net/a/94833/13042
Non so se tu abbia già cominciato a studiare analisi complessa, ma, in ogni caso, potresti trovare interessante, e magari anche illuminante, cominciare a dare una sbirciata qui.
"Tizi":
$i^2=\sqrt(-1)*\sqrt(-1)=\sqrt((-1)*(-1))=1$
Questa proprietà vale solo per i reali positivi.
Utilizzando le proprietà di operazioni all'interno di insiemi che "strutturalmente"[nota]E qui bisognerebbe approfondire.[/nota] non le soddisfano si può solo che incorrere in contraddizioni.
"Tizi":
ma se $sqrt(-1)=[−i,i]$ allora dovrebbe anche accadere che $2+6\sqrt(-1)=2+6(+i)=2+6(−i)$ quindi risulterebbe che $2+6i=2−6i$ ma quei due complessi sono diversi!
La funzione $sqrt(*)$ definita in $\mathbb{C}$ ha valori in $\mathbb{C}^2$, in generale $root(n)(*):\mathbb{C}\rarr\mathbb{C}^n$.
Grazie dan, per il fatto di $i^2$ ho capito, invece la seconda parte che spiega il mio secondo dubbio non ho ben capito( il fatto è che se $i=-i=sqrt(-1)$ allora scrivere $2(+i)=2i$ dovrebbe essere equivalente a scrivere $2(-i)=-2i$
(Preciso che ho appena iniziato a vedere queste cose quindi molti elementi del linguaggio matematico non li ho)
(Preciso che ho appena iniziato a vedere queste cose quindi molti elementi del linguaggio matematico non li ho)
Scusate ancora ragazzi ma mi è venuto un dubbio, questa volta su di un'equazione, sempre con i complessi:
$z=sqrt(|z|^2-2|z|^2)$ Vi dico cosa ho pensato:
Si può scrivere come $z=sqrt(-x^2-y^2)$ ora io so che dentro la radice c'è una quantità negativa, e ho pensato come quando ad esempio $z=sqrt(-4)$può essere $z=sqrt(4)i$ o $-sqrt(4)i$
Così l'ho riscritta come $z=sqrt(x^2+y^2)i$ ma può essere anche $z=-sqrt(x^2+y^2)i$ ovvero$+-|z|i$
Se io risolvo in forma algebrica mi viene solo come risultato x=0, ovvero parte reale nulla, ma la parte immaginaria??? Grazie
$z=sqrt(|z|^2-2|z|^2)$ Vi dico cosa ho pensato:
Si può scrivere come $z=sqrt(-x^2-y^2)$ ora io so che dentro la radice c'è una quantità negativa, e ho pensato come quando ad esempio $z=sqrt(-4)$può essere $z=sqrt(4)i$ o $-sqrt(4)i$
Così l'ho riscritta come $z=sqrt(x^2+y^2)i$ ma può essere anche $z=-sqrt(x^2+y^2)i$ ovvero$+-|z|i$
Se io risolvo in forma algebrica mi viene solo come risultato x=0, ovvero parte reale nulla, ma la parte immaginaria??? Grazie
allora...
se sotto radice quadrata mi trovo un numero reale negativo allora il risultato sarà un numero immaginario e basta, non c'è la parte reale:
la radice di $-4$ è $2i$ senza la parte reale, isn't it?
se sotto radice quadrata mi trovo un numero reale negativo allora il risultato sarà un numero immaginario e basta, non c'è la parte reale:
la radice di $-4$ è $2i$ senza la parte reale, isn't it?
Beh, come mi hanno già scritto sopra $sqrt-4$ può essere sia $2i$ che $-2i$, infatti $(-2i)^2=-4$ infatti mi hanno scritto che la scrittura $z=sqrt-4$ non sarebbe correttissima dal punto di vista matematico perchè piuttosto indica un'insieme di numeri complessi, appunto $[2i, -2i]$ (almeno se ho capito giusto) Tornando al mio esempio io ottengo $z=sqrt(x^2+y^2)i$ e $z=-sqrt(x^2+y^2)i$ ma poi non saprei che conclusioni trarre.
Ho pensato elevando al quadrato ottengo $z^2=-x^2-y^2$
in forma algebrica
$x^2+2ixy-y^2=-x^2-y^2$
$2x^2+2ixy=0$ Se faccio sistema parte reale e parte immaginaria separate ottengo ovviamente che per $y=0$ è verificata per $x=0$, ovvero per parte immaginaria nulla ho parte reale nulla mentre per $x=0$ io posso avere qualsiasi $y$, dunque in definitiva ottengo l'asse delle parti immaginarie nel piano di Gauss, giusto??? dunque la soluzione sarebbe $Re(z)=0$?
Ho pensato elevando al quadrato ottengo $z^2=-x^2-y^2$
in forma algebrica
$x^2+2ixy-y^2=-x^2-y^2$
$2x^2+2ixy=0$ Se faccio sistema parte reale e parte immaginaria separate ottengo ovviamente che per $y=0$ è verificata per $x=0$, ovvero per parte immaginaria nulla ho parte reale nulla mentre per $x=0$ io posso avere qualsiasi $y$, dunque in definitiva ottengo l'asse delle parti immaginarie nel piano di Gauss, giusto??? dunque la soluzione sarebbe $Re(z)=0$?
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