Dubbio nell'uso di Taylor per trovare max/min e flessi
Ciao,
ho un piccolo dubbio nella ricerca di massimi/minimi o flessi di una funzione.
Siccome a volte calcolare la derivata prima e la derivata seconda diventa abbastanza complicato, mi sembra di aver capito che ci sia un altro metodo, cioè utilizzando gli sviluppi di Taylor..
Partendo dal presupposto che la derivata della funzione non sia uguale a zero:
se la $f'(0) = 0$ è di ordine pari allora significa che può essere un massimo o un minimo a seconda del segno
se la $f'(0) = 0$ è di ordine dispari significa che è un flesso.
Nei miei appunti c'era scritto cosi, in primo luogo vorrei capire che cosa significa di ordine pari o dispari e da che cosa si capisce/individua che è di ordine pari o dispari.. infine volevo chiedere se è giusto il ragionamento scritto precedentemente..
ho un piccolo dubbio nella ricerca di massimi/minimi o flessi di una funzione.
Siccome a volte calcolare la derivata prima e la derivata seconda diventa abbastanza complicato, mi sembra di aver capito che ci sia un altro metodo, cioè utilizzando gli sviluppi di Taylor..
Partendo dal presupposto che la derivata della funzione non sia uguale a zero:
se la $f'(0) = 0$ è di ordine pari allora significa che può essere un massimo o un minimo a seconda del segno
se la $f'(0) = 0$ è di ordine dispari significa che è un flesso.
Nei miei appunti c'era scritto cosi, in primo luogo vorrei capire che cosa significa di ordine pari o dispari e da che cosa si capisce/individua che è di ordine pari o dispari.. infine volevo chiedere se è giusto il ragionamento scritto precedentemente..
Risposte
Credo che tu ti stia riferendo alla derivata della funzione $f(x)=x^\alpha$ con $\alpha>=1, alpha in NN$ - non ho però capito cosa c'entri Taylor.
Ad esempio:
è di ordine pari, quindi in 0 presenta un punto di minimo;
è di ordine dispari, quindi in 0 presenta un punto di flesso.
Ad esempio:
$f(x)=x^2$
è di ordine pari, quindi in 0 presenta un punto di minimo;
$f(x)=x^3$
è di ordine dispari, quindi in 0 presenta un punto di flesso.
Criterio delle derivate successive: Data una funzione f(x) che rispetta le ipotesi di taylor, in un intorno di ogni punto stazionario, la funzione si comporta come il primo termine non nullo e non costante dello sviluppo di taylor in quel punto.
Esempio: $f(x)=(\arctan x-x)\cdot x$ taylor in 0: $f(x)=(x-x^3/3-x)x=-1/4 x^4$ quindi 0 è un punto di massimo locale.
Attenzione! PRIMO TERMINE NON NULLO E NON COSTANTE: esempio: $f(x)=\cos x$ taylor in 0 $f(x)=1-x^2/2 \Rightarrow$ la funzione in un intorno di zero si comporta come $-x^2/2$ e non come 1! Infatti 0 è punto di massimo (globale)
Esempio: $f(x)=(\arctan x-x)\cdot x$ taylor in 0: $f(x)=(x-x^3/3-x)x=-1/4 x^4$ quindi 0 è un punto di massimo locale.
Attenzione! PRIMO TERMINE NON NULLO E NON COSTANTE: esempio: $f(x)=\cos x$ taylor in 0 $f(x)=1-x^2/2 \Rightarrow$ la funzione in un intorno di zero si comporta come $-x^2/2$ e non come 1! Infatti 0 è punto di massimo (globale)
"jarrod":
Ciao,
ho un piccolo dubbio nella ricerca di massimi/minimi o flessi di una funzione.
Siccome a volte calcolare la derivata prima e la derivata seconda diventa abbastanza complicato, mi sembra di aver capito che ci sia un altro metodo, cioè utilizzando gli sviluppi di Taylor..
Partendo dal presupposto che la derivata della funzione non sia uguale a zero:
se la $f'(0) = 0$ è di ordine pari allora significa che può essere un massimo o un minimo a seconda del segno
se la $f'(0) = 0$ è di ordine dispari significa che è un flesso.
Nei miei appunti c'era scritto cosi [...]
Semplicemente hai sbagliato a trascrivere, mettendo ovunque la derivata prima...
La versione ufficiale è la seguente: se una funzione ha in $x_0$ tutte le derivate fino a quelle di ordine $n$ e se risulta:
\[
f^\prime(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \quad \text{e}\quad f^{(n)}(x_0)\neq 0\; ,
\]
allora:
[*:1gvk6q6s] se $n$ è pari ed $f^{(n)}(x_0) >0$, $x_0$ è di minimo relativo;
[/*:m:1gvk6q6s]
[*:1gvk6q6s] se $n$ è pari ed $f^{(n)}(x_0) < 0$, $x_0$ è di massimo relativo;
[/*:m:1gvk6q6s]
[*:1gvk6q6s] se $n$ è dispari, $x_0$ è di flesso.[/*:m:1gvk6q6s][/list:u:1gvk6q6s]
Che poi, detto in altri termini, è proprio quanto scritto da Lebesgue.
"gugo82":
Che poi, detto in altri termini, è proprio quanto scritto da Lebesgue.
Si diciamo che per risparmiare tempo ho enunciato la versione "breve e concisa"
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