Dubbio nell'enunciato del Teorema di Noether

[Fab527]

"$ L(q,dot(q),t) $ ha una simmetria se è invariante rispetto a un gruppo di trasformazioni $ f(q,t) in C^oo $ tale che $ f(q,0)=q $, con $ f in R^n $ , $ q in R^n $ , $ alpha in S sube R $ , $ 0 in S $."

Definito ciò, espongo il dubbio che ho, che si trova nell'enunciato del teorema di Noether:

"Se $ L(q,dot(q),t) $ ha una simmetria $ f(q,t) $ allora si conserva lungo il moto la quantità $ C(q,dot(q)) =sum_i (partialL)/(partialdot(q)_i)(partialf_i)/(partial alpha)|_(alpha=0) = grad_(dot(q)) L * (df)/(dalpha)$ "

Come si ottiene l'ultima uguaglianza? Io ottengo che $ (df_i)/(dalpha)=(partialf_i)/(partialq_i)(dq_i)/(dalpha)+(partialf_i)/(partialalpha) $ e così però l'uguaglianza non sarebbe vera..

[ciampax]

Ma $\alpha$ che sarebbe? Anche nella premessa scrivi $\alpha\in S$, ma non appare da nessuna parte...

[Epimenide93]

Mi sa che \(S\) dovrebbe essere l'intervallo che parametrizza la simmetria (ergo che sia \(S \subseteq \mathbb{R}\) e non \(S \in \mathbb{R}\), e che le trasformazioni siano \(f(q, \alpha)\) e non \(f(q,t)\)). Almeno, così mi tornerebbe l'enunciato. Tuttavia non è chiaro cosa sia \(u\) quando scrivi \(\nabla _u\).

Io \(C(q,\dot q)\) (se ho azzeccato il senso di \(\alpha\) ed \(S\)) lo scriverei come \(\displaystyle \nabla _{\dot q} L \cdot \frac{\partial f}{\partial \alpha} \bigg| _{\alpha = 0} = \left \langle \nabla _{\dot q} L, \frac{\partial f}{\partial \alpha} \bigg| _{\alpha = 0} \right \rangle\).

[Fab527]

Scusate per la poca chiarezza: intendevo proprio quello che dice Epimenide93, e $ u $ = $ dot(q) $