Dubbio nella dimostrazione della radice ennesima

[Mystikal]

Salve ragazzi. Stavo studiando in questo momento analisi e non riesco a capire un passaggio che svolge il mio professore nei miei appunti e nel libro (scritto dallo stesso professore) e, visto che in questo periodo non posso andare direttamente da lui, spero che voi possiate aiutarmi.

Ad un certo punto di una dimostrazione esegue questo passaggio:

Con $ 0< h <= 1 $

$ (e+h)^n-e^n=h((e+h)^{n-1}+e(e+h)^{n-2}+...+e^{n-2}(e+h)+e^{n-1}) $

Ora non so se stia applicando una formula di cui non sono a conoscenza o abbia eseguito una serie di passaggi che non sono scritti sul libro. Sapreste darmi una mano? Ringrazio tutti anticipatamente

[ViciousGoblin]

E' la formula algebrica (che generalizza la differenza tra due quadrati)

$A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+...AB^{n-2}+B^{n-1})$

che di solito si fa all'inizio del corso di analisi (per esempio come applicazione del principio di induzione) e che serve in varie occasioni (vedi serie geometrica)

[Mystikal]

Immaginavo ne fosse una generlizzazione ma non ne ero sicuro...

Un'ultima cosa: la formula prosegue così

$ h((e+h)^{n-1}+e(e+h)^{n-2}+...+e^{n-2}(e+h)+e^{n-1}) <= nh(e+h)^{n-1} <= nh(e+1)^{n-1}

sapreste dirmi il perchè?

[ViciousGoblin]

"Mystikal":Immaginavo ne fosse una generlizzazione ma non ne ero sicuro...

Un'ultima cosa: la formula prosegue così

$ h((e+h)^{n-1}+e(e+h)^{n-2}+...+e^{n-2}(e+h)+e^{n-1}) <= nh(e+h)^{n-1} <= nh(e+1)^{n-1}

sapreste dirmi il perchè?

la prima diseguaglianza vale perché ogni termine del tipo $e^j(e+h)^{n-1-j}$ è minore o eguale a $(e+h)^{n-1}$ e di tali termini ce ne sono $n$ ($j=0,...,n-1$). P.S: serve anche che $h>0$.
La seconda immagino dipenda dal prendere $0

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