Dubbio nel determinare il carattere di una serie a termini positivi
Salve ragazzi. Ho svolto questo esercizio in cui si chiedeva di determinare il carattere della serie, ma mi è venuto un grosso dubbio sulla sua correttezza. Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere.
L'esercizio è: $ sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1)) $
Io ho agito così:
$ sqrt(n+1)>sqrt(n) hArr 1/sqrt(n+1)<1/sqrt(n), \ \ AA n in mathbb(N), \ n != 0 $
$ sum_(n=1)^(+\infty) 1/sqrt(n) = sum_(n=1)^(+\infty) (1/n)^(1/2)=+ infty $ <--- Dalla definizione di serie armonica generalizzata
$ 1/sqrt(n+1)<1/sqrt(n) rArr sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1)) < sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n))= + infty rArr sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1))< + infty $ <--- Quindi la serie converge(??).
Ora non ho il libro a portata di mano, ma se non ricordo male la serie divergeva. Io purtroppo non noto errori. Spero che qualcuno mi voglia aiutare, grazie.
L'esercizio è: $ sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1)) $
Io ho agito così:
$ sqrt(n+1)>sqrt(n) hArr 1/sqrt(n+1)<1/sqrt(n), \ \ AA n in mathbb(N), \ n != 0 $
$ sum_(n=1)^(+\infty) 1/sqrt(n) = sum_(n=1)^(+\infty) (1/n)^(1/2)=+ infty $ <--- Dalla definizione di serie armonica generalizzata
$ 1/sqrt(n+1)<1/sqrt(n) rArr sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1)) < sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n))= + infty rArr sum_(n=1)^(+\infty) 1/(sqrt(n+1))< + infty $ <--- Quindi la serie converge(??).
Ora non ho il libro a portata di mano, ma se non ricordo male la serie divergeva. Io purtroppo non noto errori. Spero che qualcuno mi voglia aiutare, grazie.
Risposte
$1/sqrt(n+1) ~ 1/sqrt(n)=1/n^(1/2) => [...]$?
Già...
Dai non essere malinconico 
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