Dubbio massimo e minimo limite di una successione
Stavo studiando la definizione di massimo e minimo limite e mi sono sorti dei dubbi sul modo in cui viene costruita. Vi scrivo di seguito il tutto.
Sia $(a_n)$ una successioni di numeri reali limitata superiormente. Poniamo $\forall k \in N, A_k ={a_n|n>=k}$.
Risulta che $A_0 \sup A_1 \sup A_2 ... \sup A_k$
e che $\forall k \in N A_k$ è limitato superiormente essendo (a_n) limitata superiormente.
Per il teorema di esistenza dell'estremo superiore $\exists Sup A_k \in R \forall k \in N$.
Poniamo $\forall k in N L_k =SupA_k$
Osserviamo che la successione $(L_k)$ è monotona decrescente ($\forall k \in N, L_(k+1)<=L_k)$ e deriva dalla relazione di inclusione sopracitata.
Per il teorema sulla regolarità delle successioni monotone:
$\exists lim L_k= Inf L_k=Inf SupA_k=InfSup a_n=L \in R uu{-\infty}$
Tale L si chiama il massimo limite della successione.
Quello che non mi è chiaro è:
Perché $L_k$ è monotona decrescente? Se immagino $a_n$ convergente a un certo numero ad esempio 100, tutti gli insiemi $A_k$ saranno sì sempre più piccoli perché perderanno "pezzi" da dietro ma avranno sempre lo stesso estremo superiore. Sarebbe una retta con valori crescenti sulle x e un valore costante di "100" sulle ordinate. Detto ciò si può dire vero che $L_(k+1)<=L_k$ perchè appunto vale l'uguaglianza e non la minore ma in maniera analoga potrei dire che è monotona crescente? cioè è vero che $L_k<=L_k+1$?
Poi ancora scrive che il limite di $L_k$ è l'estremo inferiore di $L_k$ ma coincide anche con l'estremo superiore di $L_k$. Cioè questa definizione di massimo limite, così come quella di minimo limite si basano sull'arbitraria scelta di vedere un valore come una cosa piuttosto che un'altra?
Mi sto perdendo qualcosa nel mezzo? Sbaglio l'interpretazione grafica? E' perché sto considerando il caso limite di una successione regolare? "perde di signficato" con le successioni regolari?
Vi ringrazio anticipatamente
Sia $(a_n)$ una successioni di numeri reali limitata superiormente. Poniamo $\forall k \in N, A_k ={a_n|n>=k}$.
Risulta che $A_0 \sup A_1 \sup A_2 ... \sup A_k$
e che $\forall k \in N A_k$ è limitato superiormente essendo (a_n) limitata superiormente.
Per il teorema di esistenza dell'estremo superiore $\exists Sup A_k \in R \forall k \in N$.
Poniamo $\forall k in N L_k =SupA_k$
Osserviamo che la successione $(L_k)$ è monotona decrescente ($\forall k \in N, L_(k+1)<=L_k)$ e deriva dalla relazione di inclusione sopracitata.
Per il teorema sulla regolarità delle successioni monotone:
$\exists lim L_k= Inf L_k=Inf SupA_k=InfSup a_n=L \in R uu{-\infty}$
Tale L si chiama il massimo limite della successione.
Quello che non mi è chiaro è:
Perché $L_k$ è monotona decrescente? Se immagino $a_n$ convergente a un certo numero ad esempio 100, tutti gli insiemi $A_k$ saranno sì sempre più piccoli perché perderanno "pezzi" da dietro ma avranno sempre lo stesso estremo superiore. Sarebbe una retta con valori crescenti sulle x e un valore costante di "100" sulle ordinate. Detto ciò si può dire vero che $L_(k+1)<=L_k$ perchè appunto vale l'uguaglianza e non la minore ma in maniera analoga potrei dire che è monotona crescente? cioè è vero che $L_k<=L_k+1$?
Poi ancora scrive che il limite di $L_k$ è l'estremo inferiore di $L_k$ ma coincide anche con l'estremo superiore di $L_k$. Cioè questa definizione di massimo limite, così come quella di minimo limite si basano sull'arbitraria scelta di vedere un valore come una cosa piuttosto che un'altra?
Mi sto perdendo qualcosa nel mezzo? Sbaglio l'interpretazione grafica? E' perché sto considerando il caso limite di una successione regolare? "perde di signficato" con le successioni regolari?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Prova a dimostrare che se
$A subseteq B$
allora
[tex]\sup(A) \leqslant \sup(B)[/tex].
$A subseteq B$
allora
[tex]\sup(A) \leqslant \sup(B)[/tex].
"Martino":
Prova a dimostrare che se
$A subseteq B$
allora
[tex]\sup(A) \leqslant \sup(B)[/tex].
Mi è chiaro che $Sup A <=Sup B$ però la verità di questa affermazione sta nel fatto che, almeno in questo caso, tutti gli estremi superiori dei vari insiemi, coincidono cioè avrò che $Sup(A_0) = Sup(A_1)=... = Sup(A_k)$ e quindi non riesco a vedere una successione monotona decrescente. Cioè se i termini della successione rappresentata da tutti gli estremi superiori sono uguali, io non vedo né una monotonia crescente né una decrescente. Devo considerarla decrescente solo perché è vero che se $A \subseteq B$ allora $Sup A <=Sup B$ ?
Non è vero che quegli estremi superiori sono tutti uguali. Ad esempio, cosa succede se $a_n := -1/n$?
"gugo82":
Non è vero che quegli estremi superiori sono tutti uguali. Ad esempio, cosa succede se $a_n := -1/n$?
è una successione limitata superiormente il cui $Sup a_n = 0$ vuol dire che tutti gli insiemi $A_k$ saranno limitati superiormente.
Gli insiemi $A_k$ sono formati da tutte le immagini $a_n$ calcolate da un certo punto in poi
$A_0 = {a_n|n>=0}={-1/0,-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$ e l'estremo superiore sarà 0
$A_1 = {a_n|n>=1}={-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$ e l'estremo superiore sarà 0
e così via per inifiniti valori di k in N io scelga. No?
ah ok ora notavo che gli estremi inferiori aumentano man mano quindi gli estremi inferiori formano una successione monotona crescente. Forse volevi intendere $1/n$.
in quel caso avrei:
$A_0= {1/0,1,1/2...0}
A_1 {1,1/2...0}
A_2= {1/2,1/3...0} $
e quindi la successione degli estremi superiori sarebbe effettivamente monotona decrescente.
Ora sono riuscito a visualizzarlo. Mi sento un po' stupido ma ti ringrazio ahah
in quel caso avrei:
$A_0= {1/0,1,1/2...0}
A_1 {1,1/2...0}
A_2= {1/2,1/3...0} $
e quindi la successione degli estremi superiori sarebbe effettivamente monotona decrescente.
Ora sono riuscito a visualizzarlo. Mi sento un po' stupido ma ti ringrazio ahah
"paolo1712":
[quote="gugo82"]Non è vero che quegli estremi superiori sono tutti uguali. Ad esempio, cosa succede se $a_n := -1/n$?
è una successione limitata superiormente il cui $Sup a_n = 0$ vuol dire che tutti gli insiemi $A_k$ saranno limitati superiormente. [/quote]
No.
"paolo1712":
Gli insiemi $A_k$ sono formati da tutte le immagini $a_n$ calcolate da un certo punto in poi
$A_0 = {a_n|n>=0}={-1/0,-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$ [...]
$A_1 = {a_n|n>=1}={-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$
Si può dividere per $0$?
Si può dividere per $oo$?
"paolo1712":
[...] e l'estremo superiore sarà 0
L'estremo superiore di quella roba lì è $0$?!?!?
Ma sei sicuro di aver capito cos'è l'estremo superiore???
"gugo82":
[quote="paolo1712"][quote="gugo82"]Non è vero che quegli estremi superiori sono tutti uguali. Ad esempio, cosa succede se $a_n := -1/n$?
è una successione limitata superiormente il cui $Sup a_n = 0$ vuol dire che tutti gli insiemi $A_k$ saranno limitati superiormente. [/quote]
No.
"paolo1712":
Gli insiemi $A_k$ sono formati da tutte le immagini $a_n$ calcolate da un certo punto in poi
$A_0 = {a_n|n>=0}={-1/0,-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$ [...]
$A_1 = {a_n|n>=1}={-1/1,-1/2...-1/(+\infty)}$
Si può dividere per $0$?
Si può dividere per $oo$?
"paolo1712":
[...] e l'estremo superiore sarà 0
L'estremo superiore di quella roba lì è $0$?!?!?
Ma sei sicuro di aver capito cos'è l'estremo superiore???[/quote]
No non si può dividere per infinito o zero volevo far intendere che sono numeri estremamente piccoli vicino allo zero e si ho sbagliato per -1/0 dato che si parla solo di numeri naturali quindi -1 è il più piccolo elemento del primo insieme, -1/2 del secondo ecc. Quindi la successione composta da tutti gli estremi inferiori dei k insiemi è monotona crescente.
Sia $A\subseteq R$ si dice che $b \in \R$ è maggiorante per A se $\forall a \in A:a<=b$.
Si dice estremo superiore il minimo dell'insieme maggioranti.
Sono insiemi formati solo da numeri negativi, ogni numero maggiore o uguale di 0 sarà maggiorante per tutti quegli insiemi. 0 è il più piccolo dei maggioranti quindi è estremo superiore
Non capisco dove sia l'errore
"paolo1712":
No non si può dividere per infinito o zero [...]
Ah, menomale... E sai anche perché?
"paolo1712":
[...] volevo far intendere [...]
Non devi "fare intendere", non ce n'è bisogno, qui devi "scrivere bene": chi frequenta il forum, mediamente, conosce parecchia Matematica e riesce capire quello che scrivi.
"paolo1712":
[...] che sono numeri estremamente piccoli vicino allo zero [...]
Lo zero non compariva da nessuna parte in quello che hai scritto, così come non c'era alcun accenno al concetto di "vicinanza".
"paolo1712":
e si ho sbagliato per -1/0 dato che si parla solo di numeri naturali
In realtà no, per me $0 in NN$, ad esempio... Il punto è che avrei dovuto scrivere $1/(n+1)$, ma la pigrizia ha preso il sopravvento.
D'altra parte, anche se si parte da $1$ la sostanza non cambia, quindi è un dettaglio secondario.
"paolo1712":
quindi -1 è il più piccolo elemento del primo insieme, -1/2 del secondo ecc. Quindi la successione composta da tutti gli estremi inferiori dei k insiemi è monotona crescente.
Sia $A\subseteq R$ si dice che $b \in \R$ è maggiorante per A se $\forall a \in A:a<=b$.
Si dice estremo superiore il minimo dell'insieme maggioranti.
Sono insiemi formati solo da numeri negativi, ogni numero maggiore o uguale di 0 sarà maggiorante per tutti quegli insiemi. 0 è il più piccolo dei maggioranti quindi è estremo superiore
Non capisco dove sia l'errore
Qui hai ragione, perché mi è partito un segno meno di troppo e non me ne ero accorto... Scusa.
Riformulo la domanda (facendo in modo che funzioni anche per $0$): che succede se $a_n := 1/(n+1)$?
P.S.: Inoltre, vedo che hai già risposto a quest'ultima domanda... È il maledettissimo tema per cellulare che non me l'ha fatto vedere prima.
Aspe' che ti dico.
"gugo82":
Ah, menomale... E sai anche perché?
Immagino sia perché queste operazioni non sono ben definite nella matematica.
Dividere per zero non ha senso matematico perché non esiste un numero che moltiplicato per zero dia un risultato diverso da zero. Quindi, l'espressione $a/0$ non ha un valore numerico definito e non può essere valutata. Analogo credo sia il discorso per $oo$
"gugo82":
Non devi "fare intendere", non ce n'è bisogno, qui devi "scrivere bene": chi frequenta il forum, mediamente, conosce parecchia Matematica e riesce capire quello che scrivi.
chiaro!
"gugo82":
In realtà no, per me $0 in NN$, ad esempio... Il punto è che avrei dovuto scrivere $1/(n+1)$, ma la pigrizia ha preso il sopravvento.
D'altra parte, anche se si parte da $1$ la sostanza non cambia, quindi è un dettaglio secondario.
Ecco qui mi sono espresso male. Anche io considero lo $0 \in N$. Volevo dire che poiché N è discreto e $-1/0$ non posso inserirlo nell'insieme A_0 allora devo partire da 1 e quindi $-1/1$. Anche se in realtà non ne sono certo.
"gugo82":
Qui hai ragione, perché mi è partito un segno meno di troppo e non me ne ero accorto... Scusa.
Cavoli stavo davvero impazzendo ahah
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