Dubbio limsup

[Plepp]

Salve ragazzi.
Ieri il mio prof. ha enunciato e dimostrato una caratterizzazione del massimo limite di una successione di numeri reali:

Sia $\{a_n\}$ una successione di numeri reali e sia $p\in RR$. Allora $p$ è il massimo limite di $\{a_n\}$ se e solo se
1) $\forall\epsilon>0$ si ha definitivamente $a_n < p+\epsilon$;
2) $\forall\epsilon>0$, $\forall k\in \N$, $\exists n\in\N$, $n\ge k$ tale che $p-\epsilon

Sul "solo se" se ci siamo. Sul "se" ho un dubbio. Diciamo $\{L_k\}$ la successione dei $\text{sup}$ degli insiemi $A_k:=\{a_n |n\ge k\}$. Il prof. vuole provare che per ogni $epsilon>0$ si ha definitivamente $p-\epsilon0$, allora, dalla (1) si deduce che esiste un $\bar{n}$ tale che $\forall k\ge \bar{n}$ si ha $a_ n \[ L_{\bar{n}}=\sup\{a_n\,|\, n\ge \bar{n}\}\le p+\varepsilon\]
e dalla decrescenza di $\{L_k\}$ si ottiene
\[\forall k\ge \bar{n},\qquad L_k\le L_{\bar{n}}\le p+\varepsilon\]
Dopodiché riesce a mostrare che $\forall k\ge \bar{n}$ si ha anche $p-\epsilon
In definitiva, ha ottenuto che $\forall k\ge \bar{n}$ si ha
\[p-\varepsilon Non dovrei provare anche che la disuguaglianza è stretta?

[theras]

Giuseppe perchè,fissato a piacere $bar(epsilon) in (0,+oo)$,non metti $(bar(epsilon))/2$ al posto di $bar(epsilon)$ e poi ci fai sapere ?
Saluti dal web.

[Plepp]

Sì sì avevo pensato allo stesso identico "trucco"!! però non era quello il problema. Mi chiedevo se valesse la pena di mostrarlo! Insomma, volendo fare i pignoli, l'ultima disuguaglianza non è la tesi.

Grazie in ogni caso Theras