Dubbio limiti con due variabili
Salve vorrei sapere se il mio ragionamento è corretto sui limiti a due dimensioni.
una volta effettuata una trasformazione in coordinate polari di un generico limite a due variabili diremo che se troveremo almeno due limiti diversi al variare dell'angolo $ w $ questo sarà sufficiente per poter affermare che il limite non esiste se invece il limite $ l $ è unico dovremo verificare se il raggio dell'intorno non vari in funzione dell'angolo seguendo il teorema scritto sotto. quando invece troverò un unico limite $ l $ ed una ( o più) forme indeterminate per uno o più angoli w non potremo sapere se per questi punti il limite esiste, non esiste oppure è diverso da $ l $ giusto? quindi procederemo verificando che il limite globale esista per $ l $ facendo ricorso ai teoremi sui limiti ovvero verificando che siano contemporaneamente soddisfatte le condizioni
$ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l|<= g(rho) $
$ AA w in [0,2pi ] $
$ rho in (0,r) $
e
$ lim_(rho -> 0+) g(rho)=0 $
Ringrazio in anticipo coloro che mi risponedranno
una volta effettuata una trasformazione in coordinate polari di un generico limite a due variabili diremo che se troveremo almeno due limiti diversi al variare dell'angolo $ w $ questo sarà sufficiente per poter affermare che il limite non esiste se invece il limite $ l $ è unico dovremo verificare se il raggio dell'intorno non vari in funzione dell'angolo seguendo il teorema scritto sotto. quando invece troverò un unico limite $ l $ ed una ( o più) forme indeterminate per uno o più angoli w non potremo sapere se per questi punti il limite esiste, non esiste oppure è diverso da $ l $ giusto? quindi procederemo verificando che il limite globale esista per $ l $ facendo ricorso ai teoremi sui limiti ovvero verificando che siano contemporaneamente soddisfatte le condizioni
$ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l|<= g(rho) $
$ AA w in [0,2pi ] $
$ rho in (0,r) $
e
$ lim_(rho -> 0+) g(rho)=0 $
Ringrazio in anticipo coloro che mi risponedranno
Risposte
Mi sembra alquanto corretto; preciserei che non è per forza necessario passare a coordinate polari [sebbene spesso sia comodo] e le stesse idee funzionano anche in coordinate cartesiane.
ho un ultimo dubbio
quando devo dimostrare
$ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l|<= g(rho) $
come si fa a cercare in ogni caso una funzione g(rho) da poter utilizzare con il teorema del confronto?
nei casi più semplici ho notato che $ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l| $ è del tipo $ |rho*z(w)| $. quindi in questo caso è semplice perchè se il $ "sup" z(w) $ in $ w $ è finito abbiamo risolto.
tuttavia mi domando:
a) e se il $ "sup" $ è infinito?
b)in casi più complicati del tipo $ |z(rho,w,l)| $come si come si calcola $ g(rho) $?
in particolare vorrei sapere in questo caso come fare
$ |log(1+rho^2*cos(w)^2+rho^4*sin(w))/(rho^2*cos(w)^2+rho^4*sin(w))-1|<= g(rho) $
quando devo dimostrare
$ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l|<= g(rho) $
come si fa a cercare in ogni caso una funzione g(rho) da poter utilizzare con il teorema del confronto?
nei casi più semplici ho notato che $ |f(x°+rhocos(w),y°+rhosin(w))-l| $ è del tipo $ |rho*z(w)| $. quindi in questo caso è semplice perchè se il $ "sup" z(w) $ in $ w $ è finito abbiamo risolto.
tuttavia mi domando:
a) e se il $ "sup" $ è infinito?
b)in casi più complicati del tipo $ |z(rho,w,l)| $come si come si calcola $ g(rho) $?
in particolare vorrei sapere in questo caso come fare
$ |log(1+rho^2*cos(w)^2+rho^4*sin(w))/(rho^2*cos(w)^2+rho^4*sin(w))-1|<= g(rho) $
Devi giocare con le disuguaglianze!
Ad esempio, siccome sai che \(\ln(1 + x) \le x\), allora
\[
|\ln(1 + \rho^2 \cos(w)^2 + \rho^4 \sin(w))| \le |\rho^2 \cos(w)^2 + \rho^4 \sin(w)|.
\]
Edit: Mi conviene precisare che questa cosa è vera in un intorno del punto di limite, allontanandosi troppo non vale più.
Ad esempio, siccome sai che \(\ln(1 + x) \le x\), allora
\[
|\ln(1 + \rho^2 \cos(w)^2 + \rho^4 \sin(w))| \le |\rho^2 \cos(w)^2 + \rho^4 \sin(w)|.
\]
Edit: Mi conviene precisare che questa cosa è vera in un intorno del punto di limite, allontanandosi troppo non vale più.
ok, mi era sfuggita questa disuguaglianza.
grazie mille.
grazie mille.
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