Dubbio limite di successione
Avrei un dubbio riguardo il seguente limite di successione per [tex]n[/tex] --> [tex]\infty[/tex]
[tex]sin(2\pi \sqrt{n^2+\sqrt{n}})[/tex]
A prima vista il risultato della successione sembra indeterminato, cioè è sicuramente un risultato limitato, poichè avrei [tex]sin(\infty)[/tex] però non so qual'è il risultato esatto ed analizzando il limite con Matlab mi restituisce NaN(indeterminato) come risultato, però nelle soluzioni viene risolto in questo modo:
[tex]sin(2\pi \sqrt{n^2+\sqrt{n}})=sin(2\pi n \sqrt(1+n^{-3/2})=sin(2\pi n(1+ \frac{1}{2n^{3/2}}))=sin(\frac{\pi}{\sqrt n}(1+o(1)))->0[/tex]
E in effetti il procedimento non fa una piega, quindi suppongo sia corretto, però mi sembra strano che Matlab non abbia trovato questo risultato..
[tex]sin(2\pi \sqrt{n^2+\sqrt{n}})[/tex]
A prima vista il risultato della successione sembra indeterminato, cioè è sicuramente un risultato limitato, poichè avrei [tex]sin(\infty)[/tex] però non so qual'è il risultato esatto ed analizzando il limite con Matlab mi restituisce NaN(indeterminato) come risultato, però nelle soluzioni viene risolto in questo modo:
[tex]sin(2\pi \sqrt{n^2+\sqrt{n}})=sin(2\pi n \sqrt(1+n^{-3/2})=sin(2\pi n(1+ \frac{1}{2n^{3/2}}))=sin(\frac{\pi}{\sqrt n}(1+o(1)))->0[/tex]
E in effetti il procedimento non fa una piega, quindi suppongo sia corretto, però mi sembra strano che Matlab non abbia trovato questo risultato..
Risposte
Ok grazie per la risposta, senza aprire un altro topic continuo a scrivere in questo, avrei dei dubbi su questo limite, sempre per [tex]n[/tex]->[tex]\infty[/tex]
[tex]\frac{2^{(n+1)}+3^{n+1}}{2^n+3^n} -> \frac{1}{3}[/tex]
Come è arrivato a questo risultato?
Poi ho questo limite:
[tex]\frac{(n^4+n^3)^{\frac{1}{n}}}{lnn}+\frac{ln(4n^2+1)}{ln(8n^3+1}[/tex]
Allora il termine [tex]\frac{(n^4+n^3)^{\frac{1}{n}}}{lnn}[/tex] tende a [tex]0[/tex], mentre il secondo termine:
[tex]\frac{ln(4n^2+1)}{ln(8n^3+1}=\frac{ln(4n^2(1+o(1))}{ln(8n^3(1+o(1))}=\frac{2ln(4n(1+o(1))}{3ln(8n(1+o(1))}->\frac{2}{3}[/tex]
Mentre nelle soluzioni il risultato ottenuto è [tex]-\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\frac{2^{(n+1)}+3^{n+1}}{2^n+3^n} -> \frac{1}{3}[/tex]
Come è arrivato a questo risultato?
Poi ho questo limite:
[tex]\frac{(n^4+n^3)^{\frac{1}{n}}}{lnn}+\frac{ln(4n^2+1)}{ln(8n^3+1}[/tex]
Allora il termine [tex]\frac{(n^4+n^3)^{\frac{1}{n}}}{lnn}[/tex] tende a [tex]0[/tex], mentre il secondo termine:
[tex]\frac{ln(4n^2+1)}{ln(8n^3+1}=\frac{ln(4n^2(1+o(1))}{ln(8n^3(1+o(1))}=\frac{2ln(4n(1+o(1))}{3ln(8n(1+o(1))}->\frac{2}{3}[/tex]
Mentre nelle soluzioni il risultato ottenuto è [tex]-\frac{2}{3}[/tex]
Forse c'è qualche errore di stampa:
la prima successione(come deducibile dividendone numeratore e denominatore per $3^n$..),converge a $3$,
mentre sull'altra direi che hai ragione tu..
Saluti dal web.
la prima successione(come deducibile dividendone numeratore e denominatore per $3^n$..),converge a $3$,
mentre sull'altra direi che hai ragione tu..
Saluti dal web.
In modo alternativo a quanto fatto da W.A. in merito al primo addendo dell'argomento del secondo limite,
è appena il caso di notare per completezza che,grazie al solito corollario al teorema della media geometrica,si ha
$EElim_(n to +oo)(n^4+n^3)^(1/n)=lim_(n to +oo)((n+1)^4+(n+1)^3)/(n^4+n^3)=..=1$:
saluti dal web.
è appena il caso di notare per completezza che,grazie al solito corollario al teorema della media geometrica,si ha
$EElim_(n to +oo)(n^4+n^3)^(1/n)=lim_(n to +oo)((n+1)^4+(n+1)^3)/(n^4+n^3)=..=1$:
saluti dal web.
Ho risolto avevo sbagliato a scrivere era [tex]3^{n-1}[/tex] nella prima successione, basta separare il denominatore e applicare la proprietà delle potenze e si ottiente [tex]\frac{1}{3}[/tex]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo