Dubbio limite con taylor
ho un dubbio nella risoluzione del seguente esercizio piu' precisamente non capisco come "gestire " l'o-piccolo:
$\lim_{n \to \0^+} (x^2(1-3^x+x9^x))/(arctan(x)-x)$
secondo gli sviluppi di mc laurin
$3^x=1+xln3+(x^2ln^2 3)/2 +o(x^2)$
$9^x=1+2xln3+2x^2ln^2 3+o(x^2)$
da cui ottengo:
$x9^x=x+2x^2ln3+o(x^2)$ (secondo l'algebra degli o-piccoli $x^m*o(x^n) = o(x^(m+n))$ quindi in questo caso non dovrebbe essere $o(x^3)?$ )
$arctan(x)=x-x^3/3+o(x^3)$
quindi in conclusione il limite diventa: $(x^2(-xln3-(x^2ln^2 3)/2+x+2x^2ln3+o(x^2)))/(-x^3/3+o(x^3))$.
prima di partire con le moltiplicazioni studio il valor massimo assunto dall' o-piccolo, in modo da snellire i conti, ma in questo caso quanto vale l'o-piccolo?? a me verrebbe da dire $ o(x^4) dato da (x^2 * o(x^2)$ ma penso di sbagliarmi....
$\lim_{n \to \0^+} (x^2(1-3^x+x9^x))/(arctan(x)-x)$
secondo gli sviluppi di mc laurin
$3^x=1+xln3+(x^2ln^2 3)/2 +o(x^2)$
$9^x=1+2xln3+2x^2ln^2 3+o(x^2)$
da cui ottengo:
$x9^x=x+2x^2ln3+o(x^2)$ (secondo l'algebra degli o-piccoli $x^m*o(x^n) = o(x^(m+n))$ quindi in questo caso non dovrebbe essere $o(x^3)?$ )
$arctan(x)=x-x^3/3+o(x^3)$
quindi in conclusione il limite diventa: $(x^2(-xln3-(x^2ln^2 3)/2+x+2x^2ln3+o(x^2)))/(-x^3/3+o(x^3))$.
prima di partire con le moltiplicazioni studio il valor massimo assunto dall' o-piccolo, in modo da snellire i conti, ma in questo caso quanto vale l'o-piccolo?? a me verrebbe da dire $ o(x^4) dato da (x^2 * o(x^2)$ ma penso di sbagliarmi....
Risposte
al denominatore appliucando taylor arctgx-x $=$ - 1/3 x^3, al numeratore 9^x per 0 è 1, 1-3^x applicando i limiti notevoli -(3^x-1) $=$ -xlog3, quindi al numeratore ottieni x^3( 1-log3)/ -1/3 x^3, quindi elog3-3 che sarebbe log27-3.....
Dico che dovresti avere, giustamente:
$\frac{-ln(3)x^3 -\frac{ln(3)^2}{2}x^4+o(x^3)+x^3+2ln(3)x^4+2(ln(3)^2)x^5+o(x^3)}{-(x^3)/3 +o(x^3)}$
Si potrebbe essere tentati di mettere a fattor comune $x^3$, tenendo conto che i termini in $x^4$ e $x^5$ sono o-piccoli di $x^3$ per $x \rightarrow 0$. Dunque in definitiva il limite sarebbe:
$\lim_{x\rightarrow0+} \frac{x^3(ln(3)+1)+o(x^3)}{-x^3/3+o(x^3)} = -3(ln(3)+1)$
Tuttavia non sono affatto convinto di questo risultato...
$\frac{-ln(3)x^3 -\frac{ln(3)^2}{2}x^4+o(x^3)+x^3+2ln(3)x^4+2(ln(3)^2)x^5+o(x^3)}{-(x^3)/3 +o(x^3)}$
Si potrebbe essere tentati di mettere a fattor comune $x^3$, tenendo conto che i termini in $x^4$ e $x^5$ sono o-piccoli di $x^3$ per $x \rightarrow 0$. Dunque in definitiva il limite sarebbe:
$\lim_{x\rightarrow0+} \frac{x^3(ln(3)+1)+o(x^3)}{-x^3/3+o(x^3)} = -3(ln(3)+1)$
Tuttavia non sono affatto convinto di questo risultato...
[/quote]
il risultato finale è giusto! ma non capisco perchè ,ad esempio, nel prodotto: $x^2(-xln3-(x^2ln^2 3)/2+x+2x^2ln3+o(x^2))$ o-piccolo non diventa $o(x^4)$ ma rimane invariato.... non dovrebbe essere : $x^2*o(x^2)=o(x^4)?$ è questo il mio dubbio
"Black Magic":
Dico che dovresti avere, giustamente:
$ \frac{-ln(3)x^3 -\frac{ln(3)^2}{2}x^4+o(x^3)+x^3+2ln(3)x^4+2(ln(3)^2)x^5+o(x^3)}{-(x^3)/3 +o(x^3)} $
Si potrebbe essere tentati di mettere a fattor comune $ x^3 $, tenendo conto che i termini in $ x^4 $ e $ x^5 $ sono o-piccoli di $ x^3 $ per $ x \rightarrow 0 $. Dunque in definitiva il limite sarebbe:
$ \lim_{x\rightarrow0+} \frac{x^3(ln(3)+1)+o(x^3)}{-x^3/3+o(x^3)} = -3(ln(3)+1) $
Tuttavia non sono affatto convinto di questo risultato...
il risultato finale è giusto! ma non capisco perchè ,ad esempio, nel prodotto: $x^2(-xln3-(x^2ln^2 3)/2+x+2x^2ln3+o(x^2))$ o-piccolo non diventa $o(x^4)$ ma rimane invariato.... non dovrebbe essere : $x^2*o(x^2)=o(x^4)?$ è questo il mio dubbio
"taurus85":
al denominatore appliucando taylor$ arctgx-x $=$ - 1/3 x^3$, al numeratore $9^x$ per 0 è 1, 1-3^x applicando i limiti notevoli $-(3^x-1) $=$ -xlog3$, quindi al numeratore ottieni $x^3( 1-log3)/ -1/3 x^3$, quindi $elog3-3 $che sarebbe log27-3.....
il prof in questo esercizio richiede la risoluzione con taylor, non l'ho specificato nel primo posto hai ragione...
comunque grazie anche per questa risoluzione
Se $x->0$ e $f=o(x^4)$ è anche un $o(x^2)$.
Nel nostro caso andava anche bene mettere solo o-piccoli di $x^3$, perché dobbiamo considerare gli o-piccoli come delle famiglie di funzioni che tendono a zero con una rapidità superiore a x^3 ed è tutto ciò che ci serve sapere per calcolare quel limite.
Nel nostro caso andava anche bene mettere solo o-piccoli di $x^3$, perché dobbiamo considerare gli o-piccoli come delle famiglie di funzioni che tendono a zero con una rapidità superiore a x^3 ed è tutto ciò che ci serve sapere per calcolare quel limite.
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