Dubbio limite a partire da limite notevole
Buongiorno, stavo svolgendo esercizi sui limiti e mi e' venuto un dubbio.
Mi sono ritrovato in una situazione in cui potevo ricondurmi a $cosx/x$ per finire il limite ($x->0$) in fretta, ho quindi pensato a quanto potesse valere un simile limite, sono quindi partito da $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x^2=1/2$ per sapere che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=0$ e ho quindi pensato che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x -cosx/x$ potesse ricondurmi a $\lim_{x\rightarrow 0} cosx/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$ che sarebbe quindi $+oo$.
E' illegale fare una cosa del genere o e' corretto?
Mi sono ritrovato in una situazione in cui potevo ricondurmi a $cosx/x$ per finire il limite ($x->0$) in fretta, ho quindi pensato a quanto potesse valere un simile limite, sono quindi partito da $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x^2=1/2$ per sapere che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=0$ e ho quindi pensato che $\lim_{x\rightarrow 0} (1-cosx)/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x -cosx/x$ potesse ricondurmi a $\lim_{x\rightarrow 0} cosx/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$ che sarebbe quindi $+oo$.
E' illegale fare una cosa del genere o e' corretto?
Risposte
Non c'è bisogno di fare tutto questo, non è una forma indeterminata: nota che $\cos(0)=1$ e dunque
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\cos x}{x}=\frac{1}{0^+}=\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{x}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$
Dunque
$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}$$
Non esiste.
Comunque sì: ci sono degli errori. Non puoi spezzare il limite in questa maniera
Questo perché il teorema "limite della somma è la somma dei limiti" vale solo se non ci sono forme indeterminate di mezzo, e nel tuo caso ci sono (nello specifico: $\infty-\infty$).
Inoltre non mi è ben chiaro come hai dedotto da
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$
Che
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}=0$$
Non avrai mica moltiplicato per $x$ ambo i membri e mandato $x$ a $0$, vero?
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\cos x}{x}=\frac{1}{0^+}=\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{x}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$
Dunque
$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}$$
Non esiste.
Comunque sì: ci sono degli errori. Non puoi spezzare il limite in questa maniera
"Gianni Trattore":
$\lim_{x\rightarrow 0} 1/x -cosx/x$ potesse ricondurmi a $\lim_{x\rightarrow 0} cosx/x=\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$
Questo perché il teorema "limite della somma è la somma dei limiti" vale solo se non ci sono forme indeterminate di mezzo, e nel tuo caso ci sono (nello specifico: $\infty-\infty$).
Inoltre non mi è ben chiaro come hai dedotto da
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$
Che
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}=0$$
Non avrai mica moltiplicato per $x$ ambo i membri e mandato $x$ a $0$, vero?
Ciao Gianni Trattore,
Questa cosa che hai scritto mi fa pensare che tu possa aver svolto malamente l'esercizio che stavi svolgendo: se ne riporti qui il testo è probabile che ti si possa aiutare meglio...
"Gianni Trattore":
Mi sono ritrovato in una situazione in cui potevo ricondurmi a $cosx/x $ per finire il limite ($x \to 0 $) in fretta [...]
Questa cosa che hai scritto mi fa pensare che tu possa aver svolto malamente l'esercizio che stavi svolgendo: se ne riporti qui il testo è probabile che ti si possa aiutare meglio...
Mi sono accorto ora che l'esercizio era per x a più infinito quindi per la risoluzione ho fatto diversamente (e' un esercizio piuttosto semplice, non sto a postarlo). Il mio dubbio comunque era quello della somma dei limiti e la risposta di @Mephlip è stata perfetta, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo