Dubbio limite
Salve a tutti, avrei un dubbio su questo limite :
$ lim_(x -> 0) 1/(2x^2) * cos (1/(2x^2)) $
Mi verrebbe da pensare che il limite in questione non esiste essendo $1/(2x^2)$ un infinito per $x->0$ ed essendo $cos(1/x^2)$ oscillante. È corretto? Grazie
$ lim_(x -> 0) 1/(2x^2) * cos (1/(2x^2)) $
Mi verrebbe da pensare che il limite in questione non esiste essendo $1/(2x^2)$ un infinito per $x->0$ ed essendo $cos(1/x^2)$ oscillante. È corretto? Grazie
Risposte
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Sì. Ma devi giustificare "oscilla" in maniera rigorosa.
Definita $f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ ponendo $f(x)=\frac{1}{2x^2}\cos \frac{1}{2x^2}$, un modo per dimostrare che il limite proposto non esiste è trovare due successioni $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendenti a $0$ per $n \to \infty$ ma tali che $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \ne \lim_{n \to \infty} f(b_n)$.
Definita $f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ ponendo $f(x)=\frac{1}{2x^2}\cos \frac{1}{2x^2}$, un modo per dimostrare che il limite proposto non esiste è trovare due successioni $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendenti a $0$ per $n \to \infty$ ma tali che $\lim_{n \to \infty} f(a_n) \ne \lim_{n \to \infty} f(b_n)$.
Non basta una cosa più banale, tipo posto $1/(2x^2)=t$ il limite diventa
$ lim_(t -> +oo) t* cos t$ e
per $t=2n pi$, con $n in NN$ risulterebbe $+oo$
per $t=(2n+1)pi$ risulterebbe $-oo$
quindi la funzione è oscillante e il limite non esiste.
O forse con questo calcolo ho fatto proprio quello che hai proposto?
$ lim_(t -> +oo) t* cos t$ e
per $t=2n pi$, con $n in NN$ risulterebbe $+oo$
per $t=(2n+1)pi$ risulterebbe $-oo$
quindi la funzione è oscillante e il limite non esiste.
O forse con questo calcolo ho fatto proprio quello che hai proposto?
Sì, è lo stesso procedimento che ho proposto! 
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